Изчисляване на апроксимациите при използване на диференциал

Апроксимацията в математиката е число, което не е точната стойност на нещо, но е толкова близо до нея, че се счита за полезно като тази точна стойност.

Когато се правят приближения в математиката, това е така, защото ръчно е трудно (или понякога невъзможно) да се знае точната стойност на желаното.

Основният инструмент при работа с приближенията е диференциалът на дадена функция.

Разликата на функция f, обозначена с Δf (x), е не повече от производна на функцията f, умножена по промяната на независимата променлива, т.е. Δf (x) = f '(x) * Δx.

Понякога df и dx се използват вместо Δf и Δx.

Подходи с помощта на диференциала

Формулата, която се прилага, за да направи апроксимация чрез диференциал, възниква само от дефиницията на деривата на функция като граница.

Тази формула се дава от:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Тук се разбира, че Δx = x-x0, следователно, x = x0 + Δx. Използвайки тази формула може да бъде пренаписана като

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Забележете, че "x0" не е произволна стойност, а е такава стойност, че f (x0) е лесно известна; В допълнение, "f (x)" е просто стойността, която искаме да приближим.

Има ли по-добри подходи?

Отговорът е да. Предишният е най-простият от приближенията, наречен «линейно приближение».

За по-добро качество на апроксимациите (грешката е по-малка) се използват полиноми с повече деривати, наречени "Тейлорови полиноми", както и други числени методи като метода на Нютон-Рафсън.

стратегия

Стратегията, която трябва да следваме е:

- Изберете подходяща функция f, за да извършите апроксимацията и стойността "x" така, че f (x) е стойността, която трябва да бъде апроксимирана.

- Изберете стойност «x0», близка до «x», така че f (x0) е лесно да се изчисли.

- Изчислете Δx = x-x0.

- Изчислете производната на функцията и f '(x0).

- Заменете данните във формулата.

Решени апроксимационни упражнения

В това, което продължава, има серия от упражнения, в които се правят приближения с помощта на диференциала.

Първо упражнение

Прибл.

разтвор

Следвайки стратегията, трябва да се избере подходяща функция. В този случай може да се види, че избраната функция трябва да бъде f (x) = √xy и приблизителната стойност е f (3) = .3.

Сега трябва да изберем стойност "x0", близка до "3", така че f (x0) е лесно да се изчисли. Избирането на "x0 = 2" означава, че "x0" е близко до "3", но f (x0) = f (2) = √2 не е лесно да се изчисли.

Удобната стойност на «x0» е «4», тъй като «4» е близко до «3», а също и f (x0) = f (4) = =4 = 2.

Ако "x = 3" и "x0 = 4", тогава Δx = 3-4 = -1. Сега ще продължим да изчисляваме производната на f. Това означава, че f '(x) = 1/2 * √x, така че f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Подменяйки всички стойности във формулата, получавате:

=3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Ако се използва калкулатор, се получава, че ≈3≈1.73205 ... Това показва, че предишният резултат е добра апроксимация на реалната стойност.

Второ упражнение

Прибл.

разтвор

Както и преди, избираме като функция f (x) = andxy и в този случай x = 10.

Стойността на x0, която трябва да бъде избрана в тази възможност е «x0 = 9». Тогава имаме Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 и f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Когато оценявате във формулата, получавате това

=10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

С помощта на калкулатор получавате, че 10 ≈ 3.1622776 ... Тук можете също да видите, че преди това е получено добро приближение.

Трето упражнение

Приблизително ³√10, където ³√ означава кубичен корен.

разтвор

Ясно е, че функцията, която трябва да се използва в това упражнение е f (x) = ³ixy, а стойността на «x» трябва да бъде «10».

Стойност, близка до "10", така че нейният кубичен корен е известен е "x0 = 8". Тогава имаме, че Δx = 10-8 = 2 и f (x0) = f (8) = 2. Имаме също, че f '(x) = 1/3 * ³√x², и следователно f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Като замени данните във формулата, се получава, че:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....

Калкулаторът казва, че ³√10 ≈ 2.15443469 ... Следователно намерената апроксимация е добра.

Четвърто упражнение

Приблизително ln (1.3), където «ln» означава естествената логаритмична функция.

разтвор

Първо се избира функцията f (x) = ln (x) и стойността на «x» е 1.3. Сега, знаейки малко за логаритмичната функция, можем да знаем, че ln (1) = 0, а също и «1» е близо до «1.3». Затова избираме «x0 = 1» и така Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

От друга страна f '(x) = 1 / x, така че f' (1) = 1. Когато се оценява в дадената формула, трябва да:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Когато използвате калкулатор трябва да ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Така че направеното сближаване е добро.