Какво представляват тригонометричните граници? (с решени упражнения)

Тригонометричните ограничения са граници на функции, така че тези функции се формират от тригонометрични функции.

Има две определения, които трябва да бъдат известни, за да се разбере как се извършва изчисляването на тригонометричния лимит.

Тези определения са:

- Ограничение на функция «f», когато «x» се стреми към «b»: то се състои в изчисляване на стойността, до която f (x) се приближава, когато «x» се приближава до «b», без да достига «b» ".

- Тригонометрични функции: тригонометричните функции са синусови, косинусни и допирателни функции, означени съответно с sin (x), cos (x) и tan (x).

Другите тригонометрични функции се получават от трите функции, споменати по-горе.

Граници на функции

За да се изясни концепцията за границата на дадена функция ще продължим да показваме някои примери с прости функции.

- Границата на f (x) = 3, когато «x» се стреми към «8» е равна на «3», тъй като функцията е винаги постоянна. Без значение колко струва "x", стойността на f (x) винаги ще бъде "3".

- Границата на f (x) = x-2, когато «x» се стреми към «6» е «4». Оттогава, когато «x» се приближава до «6», тогава «x-2» се приближава до «6-2 = 4».

- Границата на g (x) = x², когато «x» се стреми към «3» е равна на 9, тъй като «x» се приближава до «3», тогава «x²» се приближава до «3² = 9»,

Както може да се види от предишните примери, изчисляването на границата се състои в оценяване на стойността, към която "x" има тенденция във функцията, и резултатът ще бъде стойността на границата, въпреки че това е вярно само за непрекъснати функции.

Има ли по-сложни граници?

Отговорът е да. Горните примери са най-простите примери за граници. В изчислителните книги основните упражнения за ограничения са тези, които генерират неопределеност от вида 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 и (∞) ^ 0.

Тези изрази се наричат неопределени, тъй като те са изрази, които математически нямат значение.

В допълнение към това, в зависимост от функциите, включени в първоначалния лимит, резултатът, получен при разрешаването на неопределеността, може да бъде различен във всеки отделен случай.

Примери за прости тригонометрични ограничения

За да се разрешат границите, винаги е много полезно да знаете графиките на включените функции. Графиките на функциите на синуса, косинуса и допирателната са показани по-долу.

Някои примери за прости тригонометрични ограничения са:

- Изчислява се границата на sin (x), когато «x» се стреми към «0».

Когато видите графиката, можете да видите, че ако «x» се приближава до «0» (както отляво, така и отдясно), то графиката на синуса също се приближава до «0». Следователно границата на sin (x), когато «x» се стреми към «0», е «0».

- Изчислете границата на cos (x), когато «x» се стреми към «0».

Наблюдавайки косинусната графика, може да се види, че когато "х" е близко до "0", тогава косинусната графика е близо до "1". Това означава, че границата на cos (x), когато «x» се стреми към «0», е равна на «1».

Може да съществува граница (да бъде число), както в предишните примери, но също така може да се случи, че тя не съществува, както е показано в следващия пример.

- Границата на tan (x), когато «x» има тенденция към «Π / 2» отляво, е равна на «+ ∞», както може да се види на графиката. От друга страна, границата на tan (x), когато «x» има тенденция към «-Π / 2» отдясно, е равна на «-∞».

Идентичност на тригонометричните граници

Две много полезни идентичности при изчисляването на тригонометричните ограничения са:

- Границата на «sin (x) / x», когато «x» се стреми към «0» е равна на «1».

- Границата на «(1-cos (x)) / x», когато «x» се стреми към «0» е равна на «0».

Тези идентичности се използват много често, когато има някакъв вид неопределеност.

Решени упражнения

Решете следните ограничения, използвайки описаните по-горе идентичности.

- Изчислете границата на «f (x) = sin (3x) / x», когато «x» се стреми към «0».

Ако функцията «f» се изчислява в «0», ще се получи неопределеност от тип 0/0. Затова трябва да се опитаме да разрешим тази неопределеност, използвайки описаните идентичности.

Единствената разлика между тази граница и идентичност е числото 3, което се появява в рамките на синусната функция. За да приложите самоличността, функцията «f (x)» трябва да бъде пренаписана по следния начин «3 * (sin (3x) / 3x)». Сега, както аргументът на синуса, така и знаменателят са еднакви.

Така че, когато «x» се стреми към «0», използвайки резултатите от идентичността «3 * 1 = 3». Следователно, границата на f (x), когато «x» се стреми към «0», е равна на «3».

- Изчислете границата на «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», когато «x» се стреми към «0».

Когато "x = 0" е заместен в g (x), се получава неопределеност от вида ∞-∞. За да го решим, дробите се изваждат, което дава резултат «(1-cos (x)) / x».

Сега, когато прилагаме втората тригонометрична идентичност, имаме границата на g (x), когато «x» се стреми към «0» е равно на 0.

- Изчислете границата на «h (x) = 4tan (5x) / 5x», когато «x» се стреми към «0».

Отново, ако h (x) се оценява в «0», ще се получи неопределеност от тип 0/0.

Пренаписването на tan (5x) като sin (5x) / cos (5x) води до h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Използвайки границата на 4 / cos (x), когато «x» се стреми към «0» е равна на «4/1 = 4» и първата тригонометрична идентичност получаваме, че границата на h (x), когато «x» има тенденция a «0» е равно на «1 * 4 = 4».