Преобразуване на Лаплас: дефиниция, история, за какво е тя, свойства

Превръщането на Лаплас в последните години е от голямо значение в изучаването на инженерни науки, математика, физика, наред с други научни области, тъй като в допълнение към големия интерес към теоретичния, осигурява лесен начин за решаване на проблеми, които идват от науки и инженерство.

Първоначално преобразуването на Лаплас беше представено от Пиер-Саймън Лаплас в неговото изучаване на теорията на вероятността и първоначално се разглеждаше като математически обект от чисто теоретичен интерес.

Сегашните приложения възникват, когато различни математици се опитват да дадат формална обосновка на "оперативните правила", използвани от Heaviside при изучаването на уравненията на електромагнитната теория.

дефиниция

Нека f е функция, дефинирана за t ≥ 0. Трансформацията на Лаплас е дефинирана както следва:

Казва се, че преобразуването на Лаплас съществува, ако предишният интеграл се сближава, в противен случай се казва, че преобразуването на Лаплас не съществува.

Като цяло, за да се обозначи функцията, която човек иска да трансформира, се използват малки букви, а буквата съответства на нейната трансформация. По този начин ще имаме:

Примери

Разгледайте постоянната функция f (t) = 1. Имаме, че нейното преобразуване е:

Всеки път, когато интегралът се слива, това винаги е при условие, че s> 0. В противен случай, s <0, интегралът се отклонява.

Нека g (t) = t. Вашата трансформация на Лаплас е дадена от

При интегриране по части и знаейки, че te-st се стреми към 0, когато t се стреми към безкрайност и s> 0, заедно с предишния пример имаме, че:

Трансформацията може или не може да съществува, например за функцията f (t) = 1 / t интегралът, който дефинира неговата трансформация на Лаплас, не се сближава и следователно неговата трансформация не съществува.

Достатъчните условия, за да се гарантира, че преобразуването на Лаплас на функция f съществува, е, че f е непрекъснато по части за t ≥ 0 и е от експоненциален ред.

Казва се, че функция е непрекъсната по части за t ≥ 0, когато за всеки интервал [a, b] с a> 0 има краен брой точки t _k, където f има прекъсвания и е непрекъснато във всеки подинтервал [t _k-1, t _k ].

От друга страна се казва, че една функция е с експоненциален ред c, ако има реални константи M> 0, c и T> 0, така че:

Като примери имаме, че f (t) = t2 е с експоненциален ред, тъй като | t2 | <e3t за всички t> 0.

По формален начин имаме следната теорема

Теорема (Достатъчни условия за съществуване)

Ако f е непрекъсната функция на част за t> 0 и на експоненциален ред c, тогава има преобразуване на Лаплас за s> c.

Важно е да се подчертае, че това е условие за достатъчност, т.е. може да има функция, която не отговаря на тези условия и дори тогава нейната трансформация на Лаплас съществува.

Пример за това е функцията f (t) = t-1/2, която не е непрекъсната по части за t ≥ 0, но нейната трансформация на Лаплас съществува.

Лапласово преобразуване на някои основни функции

Следващата таблица показва преобразуванията на Лаплас на най-често срещаните функции.

история

Преобразуването на Лаплас дължи името си на Пиер-Саймън Лаплас, математик и френски теоретичен астроном, роден през 1749 г. и починал през 1827 г. Неговата слава била такава, че той бил известен като Нютон на Франция.

През 1744 г. Леонард Ойлер посвещава изследванията си на интеграли с формата

като решения на обикновени диференциални уравнения, но бързо се отказаха от това изследване. По-късно Джоузеф Луи Лагранж, който много се възхищаваше на Ойлер, също изследваше този тип интеграли и ги свързваше с теорията на вероятността.

1782, Лаплас

През 1782 г. Лаплас започва да изучава тези интеграли като решения на диференциални уравнения и според историците, през 1785 г. той решава да преформулира проблема, който по-късно ражда трансформациите на Лаплас, както се разбира днес.

След като е въведена в областта на теорията на вероятностите, тя не представлява интерес за учените от онова време и се разглежда само като математически обект само от теоретичен интерес.

Оливър Хависайд

Именно в средата на деветнадесети век английският инженер Оливър Хависайд открива, че диференциалните оператори могат да бъдат третирани като алгебрични променливи, като по този начин се дава тяхното модерно приложение на преобразуванията на Лаплас.

Оливър Хависайд е английски физик, инженер по електротехника и математик, роден през 1850 г. в Лондон и починал през 1925 година. модерни приложения на преобразуванията на Лаплас.

Резултатите, проявени от Heaviside, се разпространиха бързо в цялата научна общност по онова време, но тъй като не строгата им работа бързо бе критикувана от по-традиционни математици.

Въпреки това, полезността на работата на Heaviside в решаването на уравнения на физиката направи неговите методи популярни сред физиците и инженерите.

Въпреки тези пречки и след няколко десетилетия на неуспешни опити, в началото на 20-ти век може да се даде строго оправдание на оперативните правила, дадени от Heaviside.

Тези опити се отплатиха благодарение на усилията на различни математици като Бромуич, Карсън, ван дер Пол и др.

свойства

Сред свойствата на преобразуването на Лаплас се открояват следните:

линейност

Нека c1 и c2 са константи и f (t) и g (t) функции, чиито трансформации на Лаплас са F (s) и G (s) съответно, тогава трябва да:

Поради това свойство се казва, че преобразуването на Лаплас е линеен оператор.

пример

Теорема за първия превод

Ако се случи това:

А "а" е всяко реално число, след което:

пример

Като преобразуване на Лаплас на cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) след това:

Втора теорема за превод

ако

след това

пример

Ако f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. И следователно, трансформацията на

е G (s) = 6e-2s / s ^ 4

Промяна на мащаба

ако

И "а" е ненулева реалност, ние трябва

пример

Тъй като преобразуването на f (t) = sin (t) е F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), то трябва да бъде

Преобразуване на Лаплас от производни

Ако f, f ', f' ', ..., f (n) са непрекъснати при t ≥ 0 и са експоненциални и f (n) (t) е непрекъснато в части за t ≥ 0,

Лапласово преобразуване на интеграли

ако

след това

Умножение по tn

Ако трябва

след това

Разделение по t

Ако трябва

след това

Периодични функции

Нека f е периодична функция с период T> 0, тоест f (t + T) = f (t)

Поведение на F (s), когато s има тенденция към безкрайност

Ако f е непрекъсната в части и експоненциален ред и

след това

Обратни трансформации

Когато приложим преобразуването на Лаплас към функция f (t), получаваме F (s), което представлява тази трансформация. По същия начин можем да кажем, че f (t) е обратната Лапласова трансформация на F (s) и е записана като

Знаем, че преобразуванията на Лаплас на f (t) = 1 и g (t) = t са F (s) = 1 / s и G (s) = 1 / s2 съответно, затова трябва да

Някои общи обратни преобразувания на Лаплас са следните

В допълнение, обратната трансформация на Лаплас е линейна, т.е. тя е изпълнена

упражнение

намирам

За да решим това упражнение, трябва да съответстваме на функцията F (s) с една от предишната таблица. В този случай, ако вземем + 1 = 5 и използвайки свойството на линейността на обратното преобразуване, се умножаваме и разделяме на 4! получаване на

За втората обратна трансформация ние прилагаме частични фракции за пренаписване на функцията F (s) и след това на свойството на линейността, получавайки

Както можем да видим от тези примери, обичайно е, че оценяваната функция F (s) не се съгласува точно с някоя от функциите, дадени в таблицата. За тези случаи, както се наблюдава, достатъчно е да се пренапише функцията до достигане на подходящата форма.

Приложения на преобразуването на Лаплас

Диференциални уравнения

Основното приложение на преобразуванията на Лаплас е за решаване на диференциални уравнения.

Използвайки свойството на преобразуването на производна, е ясно, че

А на n-1 производните, оценени при t = 0.

Това свойство прави трансформацията много полезна за решаване на задачи на първоначалната стойност, в които участват диференциални уравнения с постоянни коефициенти.

Следните примери показват как се използва преобразуването на Лаплас за решаване на диференциални уравнения.

Пример 1

Като се има предвид следната първоначална стойност стойност

Използвайте преобразуването на Лаплас, за да намерите решението.

Ние прилагаме преобразуването на Лаплас към всеки член на диференциалното уравнение

За свойството на преобразуването на производно имаме

Като развиваме целия израз и клиринг, ние оставаме

Използвайки частични фракции, за да пренапишем дясната страна на уравнението, което получаваме

Накрая, нашата цел е да намерим функция y (t), която удовлетворява диференциалното уравнение. Използването на обратната трансформация на Лаплас ни дава резултат

Пример 2

решавам

Както и в предишния случай, прилагаме трансформацията от двете страни на уравнението и отделен термин по термин.

По този начин имаме резултат

Заместване с дадени начални стойности и изчистване на Y (s)

С помощта на прости фракции можем да пренапишем уравнението по следния начин

И прилагането на обратната трансформация на Лаплас ни дава като резултат

В тези примери може да се стигне до погрешен извод, че този метод не е много по-добър от традиционните методи за решаване на диференциални уравнения.

Предимствата, които предлага преобразуването на Лаплас, са, че не е необходимо да се използват вариации на параметрите или да се притеснявате за различните случаи на метода за неопределен коефициент.

В допълнение към решаването на първоначалните задачи по този метод, от самото начало се използват началните условия, така че не е необходимо да се правят други изчисления за намиране на конкретното решение.

Системи за диференциални уравнения

Преобразуването на Лаплас може да се използва и за намиране на решения за едновременни обикновени диференциални уравнения, както показва следният пример.

пример

решавам

При началните условия x (0) = 8 ey (0) = 3.

Ако трябва

след това

Решаването на резултатите в нас

И когато прилагаме обратната трансформация на Лаплас, имаме

Механика и електрически вериги

Преобразуването на Лаплас е от голямо значение във физиката, като има предимно приложения за механика и електрически вериги.

Една проста електрическа верига се състои от следните елементи

Превключвател, батерия или източник, индуктор, резистор и кондензатор. При затваряне на превключвателя се произвежда електрически ток, който се обозначава с i (t). Зарядът на кондензатора се обозначава с q (t).

Чрез втория закон на Kirchhoff напрежението, произведено от източника E на затворената верига, трябва да бъде равно на сумата на всяко от падащите напрежения.

Електрическият ток i (t) е свързан с заряда q (t) в кондензатора чрез i = dq / dt. От друга страна, спадът на напрежението се определя във всеки от елементите, както следва:

Падането на напрежението в резистор е iR = R (dq / dt)

Падането на напрежението в индуктор е L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Падането на напрежението в кондензатор е q / c

С тези данни и прилагане на втория закон Кирххоф към затворената проста схема се получава диференциално уравнение от втори ред, което описва системата и ни позволява да определим стойността на q (t).

пример

Индуктор, кондензатор и резистор са свързани към батерия Е, както е показано на фигурата. В индуктор е от 2 henries, кондензатор с 0, 02 farads и съпротивление от 16 onhm. В момент t = 0 веригата е затворена. Намерете товара и тока по всяко време t> 0, ако E = 300 волта.