Последователни деривати (с решени упражнения)

Последователните производни са производни на функция след втората производна. Процесът за изчисляване на последователните производни е следният: имаме функция f, която можем да извлечем и така да получим производната функция f '. На това производно на f можем да го извлечем отново, получавайки (f ')'.

Тази нова функция се нарича втора производна; всички производни, изчислени от втората, са последователни; Тези, наричани още по-висок ред, имат големи приложения, като например дават информация за графиката на дадена функция, втория тест за производни за относителни крайности и определянето на безкрайни серии.

дефиниция

Използвайки нотацията на Лайбниц, имаме, че производното на функция "у" по отношение на "х" е dy / dx. За да изразим второто производно на "и", използвайки нотацията на Leibniz, пишем по следния начин:

Като цяло, можем да изразим последователните производни, както следва, с означението на Лайбниц, където п представлява реда на производната.

Други използвани обозначения са следните:

Някои примери, в които можем да видим различните нотации, са:

Пример 1

Получават се всички производни на функцията f, определена от:

Използвайки обичайните техники за деривация, имаме, че производното на f е:

Чрез повтаряне на процеса можем да получим второто производно, третото производно и т.н.

Отбележете, че четвъртата деривация е нула и производното от нула е нула, така че трябва да:

Пример 2

Изчислява се четвъртото производно на следната функция:

Извличане на дадена функция, която имаме като резултат:

Скорост и ускорение

Една от мотивите, които доведоха до откриването на производното, беше търсенето на дефиниция за мигновена скорост. Формалното определение е следното:

Нека y = f (t) е функция, чиято графика описва траекторията на дадена частица в момент t, тогава скоростта му в момент t е дадена от:

След като получи скоростта на частица, можем да изчислим моментното ускорение, което се определя по следния начин:

Моментното ускорение на частица, чийто път е дадено от y = f (t), е:

Пример 1

Частицата се движи по линия в зависимост от позиционната функция:

Където "и" се измерва в метри и "t" в секунди.

- В какъв момент скоростта ти е 0?

- В кой момент е ускорението му 0?

При извеждане на позиционната функция «и» имаме, че нейната скорост и ускорение са дадени съответно чрез:

За да се отговори на първия въпрос, достатъчно е да се определи кога функцията v става нула; това е:

Продължаваме със следния въпрос аналогично:

Пример 2

Частицата се движи по линията по следното уравнение на движение:

Определете «t, y» и «v», когато a = 0.

Знаейки, че скоростта и ускорението са дадени от

Продължаваме да извличаме и получаваме:

Като правим a = 0, имаме:

От което можем да заключим, че стойността на t за a е равна на нула е от t = 1.

Тогава, оценявайки функцията на позицията и функцията за скорост при t = 1, трябва да:

приложения

Дефиниране с умножение

Последователните производни могат също да бъдат получени чрез имплицитно деривация.

пример

Като се има предвид следната елипса, намерете «и»:

Получавайки имплицитно по отношение на брадвата, ние имаме:

Тогава, връщайки се по подразбиране по отношение на брадвата, тя ни дава:

И накрая, имаме:

Относителни краища

Друга употреба, която можем да дадем на производни от втори ред, е в изчисляването на относителните краища на дадена функция.

Критерият на първата деривация за локални екстремуми ни казва, че ако имаме функция f непрекъсната в диапазон (а, Ь) и съществува c, който принадлежи на този интервал, така че f 'се анулира в с (т.е. е критична точка), може да възникне един от тези три случая:

- Ако f '(x)> 0 за всеки x, принадлежащ на (a, c) и f' (x) <0 за x, принадлежащи към (c, b), то f (c) е локален максимум.

- Ако f '(x) 0 за x, принадлежащи към (c, b), то f (c) е локален минимум.

- Ако f '(x) има същия знак в (a, c) и в (c, b), това означава, че f (c) не е локална крайна точка.

Използвайки критерия на втората производна можем да знаем дали критичният брой на функция е локален максимум или минимум, без да се налага да виждаме какъв е знакът на функцията в гореспоменатите интервали.

Вторият критерий за деривация ни казва, че ако f '(c) = 0 и че f' '(x) е непрекъснато в (a, b), се случва, че ако f' '(c)> 0, то f (c) е локален минимум и ако f '' (c) <0, то f (c) е локален максимум.

Ако f '' (c) = 0, не можем да заключим нищо.

пример

Като се има предвид функцията f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, намерете относителните максимуми и минимуми на f, като приложите критерия за втората производна.

Първо изчисляваме f '(x) и f' '(x) и имаме:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f '' (x) = 12x2 + 8x - 8

Сега f '(x) = 0, ако и само ако 4x (x + 2) (x - 1) = 0, и това се случва, когато x = 0, x = 1 или ox = - 2.

За да се определи дали получените критични числа са относителни крайности, достатъчно е да се оцени в f '' и по този начин да се наблюдава неговия знак.

f '' (0) = - 8, така че f (0) е локален максимум.

f '' (1) = 12, така че f (1) е локален минимум.

f '' (- 2) = 24, така че f (- 2) е локален минимум.

Серия Тейлър

Нека f е функция, дефинирана както следва:

Тази функция има радиус на сближаване R> 0 и има производни на всички поръчки в (-R, R). Последователните производни на f ни дават:

Като се вземе x = 0, можем да получим стойностите на c _n като функция на неговите производни, както следва:

Ако приемем an = 0 като функция f (т.е. f ^ 0 = f), тогава можем да пренапишем функцията както следва:

Сега разгледаме функцията като поредица от сили в x = a:

Ако извършим аналогичен анализ на предишния, ще трябва да напишем функцията f като:

Тези серии са известни като Тейлорови серии от f в a. Когато а = 0 имаме конкретния случай, който се нарича серия Макларин. Този вид серия е от голямо математическо значение, особено при числения анализ, тъй като благодарение на тях можем да дефинираме функции в компютри като ex, sin (x) и cos (x).