Факторинг: Методи и примери

Факторизацията е метод, чрез който се изразява полином под формата на умножение на фактори, които могат да бъдат числа, букви или и двете. За факторизиране на общите за термините фактори са групирани и по този начин полиномът се разлага на няколко полинома.

Следователно, когато факторите се умножават, резултатът е първоначалният полином. Факторингът е много полезен метод, когато имате алгебрични изрази, защото може да се преобразува в умножение на няколко прости термина; например: 2a2 + 2ab = 2a _* (a + b).

Има случаи, в които един полином не може да бъде изчислен, защото между неговите термини няма общ фактор; по този начин тези алгебрични изрази са делими само между тях и с 1. Например: x + y + z.

В алгебричния израз общият фактор е най-големият общ делител на термините, които го съставят.

Методи за факторинг

Има няколко метода на факторинг, които се прилагат в зависимост от случая. Някои от тях са следните:

Факторинг по общ фактор

При този метод се идентифицират онези фактори, които са общи; т.е. тези, които се повтарят в термините на израза. След това се прилага разпределителното свойство, максималният общ делител се премахва и факторизацията приключва.

С други думи, общият фактор на изразяване е идентифициран и всеки термин е разделен между него; получените термини ще бъдат умножени с най-големия общ фактор за изразяване на факторизацията.

Пример 1

Фактор (b2x) + (b2y).

разтвор

Първо откриваме общия фактор на всеки термин, който в този случай е b2, и след това разделяме термините между общия фактор, както следва:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = y.

Факторизирането се изразява, умножавайки общия фактор с получените термини:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

Пример 2

Фактор (2a2b3) + (3ab2).

разтвор

В този случай имаме два фактора, които се повтарят във всеки термин, които са "а" и "б", и които са издигнати до сила. За да ги вземе под внимание, първо двата термина се разделят на тяхната дълга форма:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Може да се отбележи, че факторът "а" се повтаря само веднъж във втория член и факторът "b" се повтаря два пъти в него; така че в първия срок има само 2, фактор "а" и "б"; докато във втория срок остават само 3.

Затова пишем часовете, в които "a" и "b" се повтарят и умножават по факторите, останали от всеки термин, както се вижда на изображението:

Факторизация чрез групиране

Тъй като не във всички случаи максималният общ делител на полинома е ясно изразен, е необходимо да се предприемат други стъпки, за да може да се пренапише полиномът и следователно факторът.

Една от тези стъпки е да се групират термините на полинома в няколко групи и след това да се използва метода на общия фактор.

Пример 1

Фактор ac + bc + ad + bd.

разтвор

Има 4 фактора, при които две са често срещани: в първия термин е «c», а във второто е «d». По този начин двата термина са групирани и разделени:

(ac + bc) + (ad + bd).

Сега е възможно да се приложи методът на общия фактор, като се раздели всеки член на общия му фактор и след това се умножи този общ фактор с произтичащите термини, като това:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Сега получавате бином, който е общ за двата термина. Факторът се умножава по останалите фактори; по този начин трябва да:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Факторизиране чрез инспекция

Този метод се използва за факториране на квадратични полиноми, наричани още триноми; т.е. тези, които са структурирани като ax2 ± bx + c, където стойността на "а" е различна от 1. Този метод се използва и когато триномията има формата x2 ± bx + c и стойността на "a" = 1,

Пример 1

Фактор х2 + 5х + 6.

разтвор

Имаме квадратичен трином от вида x2 ± bx + c. За да го изчислите първо трябва да намерите две числа, които, като се умножат, дават като резултат стойността на «c» (т.е. 6) и нейната сума е равна на коефициента «b», което е 5. Тези числа са 2 и 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

По този начин изразът е опростен по следния начин:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Всеки термин е включен:

- За (x2 + 2x) се извлича общия термин: x (x + 2)

- За (3x + 6) = 3 (x + 2)

Така изразът остава:

х (х +2) + 3 (х +2).

Тъй като имате общ бином, за да намалите израза, умножете това с излишните термини и трябва да:

х2 + 5х + 6 = (х + 2) _* (х + 3).

Пример 2

Фактор 4a2 + 12a + 9 = 0.

разтвор

Имаме квадратичен трином на формата ax2 ± bx + c и за да го факторизираме, умножаваме целия израз с коефициента x2; в този случай, 4.

4a2 + 12a +9 = 0

4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a2 + 12a (4) + 36 = 0

42 a2 + 12a (4) + 36 = 0

Сега трябва да намерим две числа, които, когато се умножават, дават като резултат стойността на "c" (която е 36) и когато се добавят заедно, се получава коефициент на термина "а", който е 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

По този начин изразът се пренаписва, като се има предвид, че 42 a2 = 4a _* 4a. Следователно дистрибутивната собственост се прилага за всеки срок:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Накрая, изразът се разделя на коефициента a2; това е 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Изразът е както следва:

4a2 + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Факторинг със забележителни продукти

Има случаи, в които, за да се изчисли напълно полиномите с предишните методи, той става много дълъг процес.

Ето защо може да бъде разработен израз с формулите на забележителните продукти и по този начин процесът става по-опростен. Сред най-използваните забележителни продукти са:

- Разлика на два квадрата: (a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

- Перфектен квадрат от сума: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

- Перфектен квадрат на разликата: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

- Разлика на два куба: a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

- Сума от два куба: a3 - b3 = (a + b) _* (a2 - ab + b2)

Пример 1

Factorize (52 - x2)

разтвор

В този случай има разлика от два квадрата; следователно се прилага формулата на забележителния продукт:

(a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

(52 - x2) = (5 - x) _* (5 + x)

Пример 2

Фактор 16x2 + 40x + 252

разтвор

В този случай имаме перфектен квадрат на сума, защото можем да идентифицираме два члена на квадрат, а оставащият член е резултат от умножаване на два с квадратен корен от първия член, чрез квадратен корен от втория член.

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

За фактор се изчисляват само квадратните корени на първия и третия термин:

16 (16x2) = 4x

√ (252) = 5.

След това двете произтичащи термини са разделени от знака на операцията, а целият полином е на квадрат:

16x2 + 40x + 252 = (4x + 5) 2.

Пример 3

Фактор 27a3 - b3

разтвор

Изразът представлява изваждане, при което два фактора се издигат до куба. За да се вземат под внимание факторите, се прилага формулата на забележителния продукт на разликата в куба, която е:

a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

По този начин, за факторизиране, кубичният корен на всеки член на бинома е извлечен и умножен по квадрата на първия член, плюс произведението на първия от втория член, плюс втория член от квадрата.

27a3 - b3

³√ (27a3) = 3а

³√ (-b3) = -b

27a3 - b3 = (3a - b) _* [(3a) 2 + 3ab + b2)]

27a3 - b3 = (3a - b) _* (9a2 + 3ab + b2)

Факторинг с правилото на Ruffini

Този метод се използва, когато имате полином със степен по-голяма от две, за да се опрости изразът до няколко полинома с по-малка степен.

Пример 1

Фактор Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12

разтвор

Първо потърсете числата, които са делители на 12, което е независим термин; те са ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Тогава x се заменя с тези стойности, от най-ниската до най-високата, и по този начин се определя с коя от стойностите ще бъде точното деление; останалата част трябва да бъде 0:

х = -1

Q (-1) = (-1) 4 - 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8. 0.

x = 2

Q (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.

И така нататък за всеки разделител. В този случай намерените фактори са за x = -1 и x = 2.

Сега се прилага методът на Ruffini, според който коефициентите на израза ще бъдат разделени между факторите, намерени за делението, за да бъдат точни. Полиномните термини са подредени от най-високата до най-ниската степен; в случай, че липсва термин със степента, която следва в последователността, на негово място се поставя 0.

Коефициентите се намират в схема, както е показано на следното изображение.

Първият коефициент се понижава и умножава по делителя. В този случай първият делител е -1 и резултатът се поставя в следващата колона. Тогава стойността на коефициента се добавя вертикално с този получен резултат и резултатът се поставя по-долу. По този начин процесът се повтаря до последната колона.

Тогава същата процедура се повтаря отново, но с втория делител (което е 2), защото изразът все още може да бъде опростен.

По този начин, за всеки получен корен, полиномът ще има термин (x - a), където "a" е стойността на корена:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

От друга страна, тези условия трябва да бъдат умножени по остатъка от правило 1: 1 и -6 на Ruffini, които са фактори, които представляват степен. По този начин формираният израз е: (x2 + x - 6).

Получаването на резултата от факторизацията на полинома по метода на Ruffini е:

x4 - 9x2 + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x2 + x - 6)

За да завърши, полиномът от степен 2, който се появява в предишния израз, може да бъде пренаписан като (x + 3) (x-2). Затова окончателното факторизиране е:

x4 - 9x2 + 4x + 12 = (х + 1) _* (х - 2) _* (х + 3) _* (х-2).