Техники на броене: основни техники, приложения и примери

Техники за броене са поредица от вероятностни методи за преброяване на възможния брой аранжименти в рамките на набор или няколко групи обекти. Те се използват при ръчното съставяне на сметките поради сложността на големия брой обекти и / или променливи.

Например, решението на този проблем е много просто: представете си, че шефът ви иска да преброите последните продукти, които са пристигнали през последния час. В този случай можете да отидете и да преброите продуктите един по един.

Представете си обаче, че проблемът е следният: шефът ви иска да преброите колко групи от 5 продукта от един и същи тип могат да се формират с тези, които са пристигнали през последния час. В този случай изчислението става сложно. Така наречените техники на броене се използват за този вид ситуация.

Тези техники са няколко, но най-важните са разделени на два основни принципа, които са мултипликативни и добавъчни; пермутации и комбинации.

Мултипликативен принцип

приложения

Мултипликативният принцип, заедно с добавката, са основни за разбиране на действието на техники за броене. В случая на мултипликативен, той се състои от следното:

Представете си активност, която включва определен брой етапи (общата сума е отбелязана като "r"), където първата стъпка може да бъде направена от N1 форми, втората стъпка на N2 и стъпка "r" от Nr форми. В този случай активността може да се извърши от броя на формите, получени в резултат на тази операция: N1 x N2 x .......... x Nr форми

Ето защо този принцип се нарича мултипликативен и предполага, че всяка една от стъпките, които са необходими за извършване на дейността, трябва да се извършва един след друг.

пример

Нека си представим човек, който иска да построи училище. За да направите това, помислете, че основата на сградата може да бъде конструирана по два различни начина - цимент или бетон. Що се отнася до стените, те могат да бъдат направени от кирпич, цимент или тухла.

Що се отнася до покрива, той може да бъде изработен от цимент или поцинкована ламарина. И накрая, окончателното рисуване може да се направи само по един начин. Въпросът, който възниква, е следният: колко начини трябва да изгради училището?

Първо, ще разгледаме броя на стъпалата, които ще бъдат основата, стените, покрива и картината. Общо 4 стъпки, така че r = 4.

Следното ще бъде изброяване на N:

N1 = начини за изграждане на база = 2

N2 = начини за изграждане на стените = 3

N3 = начини за направа на покрива = 2

N4 = начини за оцветяване = 1

Следователно броят на възможните форми ще бъде изчислен по формулата, описана по-горе: \ t

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 начина за училище.

Принцип на добавката

приложения

Този принцип е много прост и се състои в това, че в случай на съществуващи няколко алтернативи за извършване на една и съща дейност, възможните форми се състоят от сумата от различните възможни начини за реализиране на всички алтернативи.

С други думи, ако искаме да извършим дейност с три алтернативи, където първата алтернатива може да се направи в М форми, втората в N форми и последната в W форми, дейността може да бъде направена от: M + N + ......... + W форми.

пример

Представете си, че този път човек, който иска да купи тенис ракета. За това тя има три марки, които могат да избират: Wilson, Babolat или Head.

Когато отива в магазина, вижда, че ракетата на Wilson може да бъде купена с дръжка от два различни размера, L2 или L3 в четири различни модела и може да бъде нанизана или без опъване.

Ракета "Babolat", от друга страна, има три дръжки (L1, L2 и L3), има два различни модела и може да бъде нанизано или без опъване.

Ракетата Head, от друга страна, е само с една дръжка, L2, в два различни модела и само без нанизване. Въпросът е: Колко начини този човек трябва да си купи ракета?

M = Брой начини за избор на ракета на Уилсън

N = Брой начини за избор на ракета Babolat

W = Брой начини за избор на рекет за главата

Ние правим мултипликационния принцип:

М = 2 х 4 х 2 = 16 форми

N = 3 х 2 х 2 = 12 форми

W = 1 х 2 х 1 = 2 форми

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 начина да изберете ракета.

За да знаете кога да използвате мултипликативния принцип и добавката, просто трябва да разгледате дали дейността има поредица от стъпки, които трябва да бъдат извършени, и ако има няколко алтернативи, добавката.

пермутации

приложения

За да се разбере какво е пермутация, е важно да се обясни какво е комбинация, за да се разграничат и да се знае кога да се използва.

Комбинацията би била подреждане на елементи, в които ние не се интересуваме от позицията, която всеки от тях заема.

Пермутацията, от друга страна, ще бъде подреждане на елементи, в които ние се интересуваме от позицията, която всеки от тях заема.

Нека дадем пример, за да разберем по-добре разликата.

пример

Представете си един клас с 35 ученика и със следните ситуации:

Учителят иска трима от неговите ученици да му помогнат да запази класа чист или да достави материали на другите ученици, когато има нужда от него.
Учителят иска да назначи делегати от класа (президент, асистент и финансист).

Решението би било следното:

Представете си, че чрез гласуването на Хуан, Мария и Лусия се избира да се чисти класът или да се доставят материалите. Очевидно е, че сред 35-те възможни студенти биха могли да се формират и други групи от по трима души.

Трябва да се запитаме следното: важно ли е реда или позицията, която всеки от учениците заема в момента на избора им?

Ако мислим за това, виждаме, че това наистина не е важно, тъй като групата ще се грижи за двете задачи еднакво. В този случай това е комбинация, тъй като не се интересуваме от позицията на елементите.

Сега си представете, че Джон е избран за президент, Мария като помощник и Люсия като финансова.

В този случай поръчката има ли значение? Отговорът е да, защото ако променим елементите, резултатът се променя. Това е, ако вместо да поставим Хуан като президент, ние го поставяме като помощник, а Мария като президент, крайният резултат ще се промени. В този случай това е пермутация.

След като разликата бъде разбрана, ще получим формулите на пермутациите и комбинациите. Въпреки това, първо трябва да дефинираме термина "n!" (Factorial), тъй като той ще се използва в различните формули.

n! = продуктът от 1 до n.

n! 1 x 2 x 3 x 4 x ......... .. x n

Използването му с реални числа:

10: 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 10 = 3, 628, 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 5 = 120

Формулата на промените ще бъде следната:

nPr = n! / (nr)!

С него можем да разберем условията, при които редът е важен, и където n елементи са различни.