Равнобедрен триъгълник: характеристики, формула и площ, изчисление

Един равнобедрен триъгълник е полигон с три страни, където две от тях имат една и съща мярка, а третата - различна мярка. Тази последна страна се нарича база. Благодарение на тази характеристика му е дадено това име, което на гръцки означава "равни крака"

Триъгълниците са многоъгълници, които се считат за най-прости в геометрията, защото са формирани от три страни, три ъгъла и три върха. Те са тези, които имат най-малък брой страни и ъгли по отношение на другите полигони, но използването им е много широко.

Характеристики на равнобедрени триъгълници

Равнобедреният триъгълник е класифициран като мярка за неговите страни като параметър, тъй като две от неговите страни са еднакви (имат еднаква дължина).

Според амплитудата на вътрешните ъгли, равнобедрените триъгълници са класифицирани като:

Правоъгълният равнобедрен триъгълник : две от страните му са равни. Един от неговите ъгли е прав (90o), а останалите са равни (45o всеки)
Обективният триъгълник е равнобедрен : две от неговите страни са еднакви. Един от нейните ъгли е тъп (> 90o).
Еднозвезден остър триъгълник : две от страните му са равни. Всички ъгли са остри (<90o), където две имат една и съща мярка.

елементи

Медианата : е линия, която излиза от средата на едната страна и достига противоположния връх. Трите медиани се срещат в точка, наречена центроид или центроид.
Бисектриса : е лъч, който разделя ъгъла на всеки връх на два ъгъла с еднакъв размер. Ето защо тя е известна като оста на симетрия и този тип триъгълници има само една.
Перпендикулярната бисектриса : е сегмент, перпендикулярна на страната на триъгълника, която произхожда в средата на това. Има три медиатрици в триъгълник и се съгласуват в точка, наречена окръжност.
Височината : е линията, която върви от върха към страната, която е противоположна, а също и тази линия е перпендикулярна на тази страна. Всички триъгълници имат три височини, които съвпадат в точка, наречена ортоцентър.

свойства

Равнобедрените триъгълници са дефинирани или идентифицирани, защото имат няколко свойства, които ги представляват, произлизащи от теоремите, предложени от великите математици:

Вътрешни ъгли

Сумата от вътрешните ъгли винаги е равна на 180o.

Сума на страните

Сумата от мерките на двете страни трябва винаги да бъде по-голяма от мярката на третата страна, a + b> c.

Сходни страни

Равнобедрените триъгълници имат две страни със същата мярка или дължина; тоест, те са еднакви и третата страна е различна от тях.

Сходни ъгли

Равнобедрените триъгълници също са известни като триъгълници с изо-ъгли, тъй като имат два ъгъла, които имат една и съща мярка (конгруент). Те са разположени в основата на триъгълника, противоположно на страните, които имат еднаква дължина.

Поради това, теоремата, която установява, че:

- Ако триъгълник има две еднакви страни, ъглите, противоположни на тези страни, също ще бъдат еднакви. Следователно, ако един триъгълник е равнобедрен, ъглите на неговите бази са еднакви.

например:

Следващата фигура показва триъгълник ABC. Чрез проследяването на своя симетрия от върха на ъгъл B до основата, триъгълникът се разделя на два триъгълника, равни на BDA и BDC:

По този начин ъгълът на върха В също беше разделен на два равни ъгъла. Сега симулатора е страна (BD), обща между тези два нови триъгълника, докато страните AB и BC са еднакви страни. Това е случаят със страна на сходство, ъгъл, страна (LAL).

Това показва, че ъглите на върховете А и С имат една и съща мярка, също както може да се покаже, че тъй като триъгълниците БДА и БДК са еднакви, AD и DC страните също са еднакви.

Височината, медианата, ситекторите и ситекторите са съвпадащи

Линията, която се изтегля от върха, противоположна на основата, до средата на основата на равнобедрения триъгълник, е в същото време височината, медианата и бисектъра, както и бисектъра спрямо противоположния ъгъл на основата.

Всички тези сегменти съвпадат в една, която ги представлява.

например:

Следващата фигура показва триъгълника ABC със средна точка M, която разделя основата на два сегмента BM и CM.

Когато нарисувате сегмент от точката М към противоположния връх, по дефиниция получавате медианното АМ, което е относително спрямо върха А и страната ВС.

Тъй като AM сегментът разделя триъгълника ABC на два равни триъгълника AMB и AMC, това означава, че случаят на странична, ъглова, странична конгруенция ще бъде наличен и следователно АМ ще бъде и бисектриса на BÂC.

Ето защо бисектрисът винаги ще бъде равен на медианата и обратно.

AM сегментът формира ъгли, които имат една и съща мярка за AMB и AMC триъгълници; тоест, те са допълнителни по такъв начин, че мярката на всеки един ще бъде:

(AMB) + Med. (AMC) = 180

2 _* Мед. (AMC) = 180 °

(AMC) = 180o2

(AMC) = 90-ти

Може да се знае, че ъглите, образувани от АМ сегмента по отношение на основата на триъгълника, са прави, което показва, че този сегмент е напълно перпендикулярна на основата.

Следователно, тя представлява височината и ситемата, знаейки, че М е средата.

Следователно правата AM:

Тя представлява височината на БЦ.
Тя е средна.
Тя се съдържа в медиатрицата на БЦ.
Това е bisector на ъгъла на върха Â

Относителни височини

Височините, които са относително равностойни, също имат една и съща мярка.

Тъй като равнобедреният триъгълник има две равни страни, двете им съответни височини също ще бъдат равни.

Ортоцентър, барицентър, стимулатор и окръжност съвпадат

Тъй като височината, медианата, бисектриса и бисектриса спрямо основата, са представени едновременно от един и същ сегмент, ортоцентърът, центроцентричният стимулатор и окръжност ще бъдат колинеарни точки, т.е. те ще бъдат на една и съща линия:

Как да изчислим периметъра?

Периметърът на полигона се изчислява по сумата на страните.

Тъй като в този случай равнобедреният триъгълник има две страни със същата мярка, неговият периметър се изчислява по следната формула:

Р = 2 _* (страна а) + (страна б).

Как да изчислим височината?

Височината е линията, перпендикулярна на основата, разделя триъгълника на две равни части, като се простира до обратния връх.

Височината представлява противоположния крак (а), половината от основата (Ь / 2) до съседния крак и "а" страна представлява хипотенузата.

Използвайки Питагоровата теорема, можете да определите стойността на височината:

a2 + b 2 = c 2

когато:

a 2 = височина (h).

b 2 = b / 2.

c 2 = страна a.

Заменяйки тези стойности в Питагоровата теорема и изчиствайки височината имаме:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4).

Ако е известен ъгълът, образуван от съответстващите страни, височината може да се изчисли по следната формула:

Как да изчислим площта?

Площта на триъгълниците винаги се изчислява по същата формула, умножаваща базата по височина и разделяща се на две:

Има случаи, в които са известни само измерванията на две страни на триъгълника и ъгълът между тях. В този случай, за да се определи площта, е необходимо да се прилагат тригонометричните съотношения:

Как да изчислим основата на триъгълника?

Тъй като равнобедрен триъгълник има две равни страни, за да се определи стойността на неговата основа е необходимо да се знае поне мярката на височината или на един от нейните ъгли.

Знаейки височината се използва Питагоровата теорема:

a2 + b2 = c2

когато:

a2 = височина (h).

c2 = страна a.

b2 = b / 2, е неизвестно.

Изчистваме b2 от формулата и трябва да:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Тъй като тази стойност съответства на половината от основата, тя трябва да се умножи по две, за да се получи пълната мярка на основата на равнобедрения триъгълник:

b = 2 _* (2 a2 - c2)

В случай, че са известни само стойността на равните им страни и ъгълът между тях, се прилага тригонометрия, която проследява линия от върха до основата, която разделя равнобедрен триъгълник на два прави триъгълника.

По този начин половината от базата се изчислява с:

Възможно е също така да се знае само стойността на височината и ъгъла на върха, която е противоположна на основата. В този случай чрез тригонометрията базата може да бъде определена:

обучение

Първо упражнение

Намерете областта на равнобедрения триъгълник ABC, като знаете, че две от страните му са с размери 10 см, а третата - с 12 см.

разтвор

За да се намери площта на триъгълника е необходимо да се изчисли височината, като се използва формулата на областта, която е свързана с Питагоровата теорема, тъй като стойността на ъгъла, образуван между равните страни, не е известен.

Имаме следните данни за равнобедрения триъгълник:

Равни страни (а) = 10 cm.
Основа (b) = 12 cm.

Стойностите във формулата се заменят:

Второ упражнение

Дължината на двете равни страни на равнобедрен триъгълник възлиза на 42 cm, а обединяването на тези страни образува ъгъл от 130o. Определете стойността на третата страна, областта на този триъгълник и периметъра.

разтвор

В този случай са известни измерванията на страните и ъгъла между тях.

За да знаем стойността на липсващата страна, т.е. основата на този триъгълник, ние рисуваме линия, перпендикулярна на нея, като разделяме ъгъла на две равни части, по една за всеки правоъгълен триъгълник, който се формира.

Равни страни (а) = 42 cm.
Ъгъл (Ɵ) = 130o

Сега чрез тригонометрията се изчислява стойността на половината от основата, която съответства на половината от хипотенузата:

За да се изчисли площта, е необходимо да се знае височината на този триъгълник, която може да се изчисли чрез тригонометрия или питагорова теорема, сега, когато стойността на базата вече е определена.

С тригонометрията ще бъде: