Равностранен триъгълник: характеристики, свойства, формули и площ
Равностранен триъгълник е многоъгълник с три страни, където всички са равни; те имат една и съща мярка. За тази характеристика е дадено името на равностранен (равни страни).
Триъгълниците са полигони, считани за най-прости в геометрията, тъй като те са оформени три страни, три ъгъла и три върха. В случая на равностранен триъгълник, тъй като има равни страни, това означава, че трите му ъгъла също ще бъдат равни.
Характеристики на равностранен триъгълник
Равни страни
Равностоящите триъгълници са плоски и затворени фигури, съставени от три сегмента от прави линии. Триъгълниците се класифицират по техните характеристики, по отношение на техните страни и ъгли; равностранечното е класифицирано като мярка за нейните страни като параметър, тъй като те са абсолютно еднакви, т.е. те са еднакви.
Равностранен триъгълник е частен случай на равнобедрен триъгълник, защото две от неговите страни са еднакви. Ето защо всички равностранени триъгълници са също равнобедрени, но не всички равнобедрени триъгълници ще бъдат равни.
По този начин равностранните триъгълници имат същите свойства на равнобедрен триъгълник.
Равностоящите триъгълници могат да се класифицират и по амплитудата на техните вътрешни ъгли като триъгълник на равностранен ангел, който има три страни и три вътрешни ъгъла със същата мярка. Ъглите ще бъдат остри, т.е. те ще бъдат по-малко от 90o.
елементи
Триъгълниците по принцип имат няколко реда и точки, които го съставят. Те се използват за изчисляване на площта, страни, ъгли, средна, симетрична, перпендикулярна и височина.
- Медианата : е линия, която излиза от средата на едната страна и достига противоположния връх. Трите медиани се срещат в точка, наречена центроид или центроид.
- Бисектриса : е лъч, който разделя ъгъла на върховете на два ъгъла с еднакъв размер, така че е известен като оста на симетрия. Равностранен триъгълник има три оси на симетрия.
В равностранен триъгълник, ситекторите се изтеглят от върха на ъгъла до противоположната му страна, като го прерязват в средата. Те съвпадат в точка, наречена стимул.
- Перпендикулярният бисектрис е сегмент, перпендикулярен на страната на триъгълника, която произхожда в средата на това. Има три медиатрици в триъгълник и те се съгласуват в точка наречена circuncentro.
- Височината : е линията, която върви от върха към страната, която е противоположна, а също и тази линия е перпендикулярна на тази страна. Всички триъгълници имат три височини, които съвпадат в точка, наречена ортоцентър.
свойства
Основното свойство на равностраненните триъгълници е, че те винаги ще бъдат равнобедрени триъгълници, тъй като равнобедрените са образувани от две конгруентни страни, а равните - три.
По този начин равностраненните триъгълници наследяват всички свойства на равнобедрения триъгълник:
Вътрешни ъгли
Сумата от вътрешните ъгли винаги е равна на 180o, и тъй като всичките ъгли са еднакви, тогава всеки от тях ще измери 60o.
Външни ъгли
Сумата на външните ъгли винаги ще бъде равна на 360 °, следователно всеки външен ъгъл ще измерва 120o. Това е така, защото вътрешните и външните ъгли са допълнителни, т.е. добавянето им винаги ще бъде равно на 180o.
Сума на страните
Сумата от мерките на двете страни трябва винаги да бъде по-голяма от мярката на третата страна, т.е. a + b> c, където a, b и c са измерванията на всяка страна.
Сходни страни
Равностоящите триъгълници имат своите три страни със същата мярка или дължина; тоест, те са еднакви. Следователно в предходната точка имаме a = b = c.
Сходни ъгли
Равностранните триъгълници също са известни като равноъгълни триъгълници, тъй като трите им вътрешни ъгъла са еднакви. Това е така, защото всички негови страни също имат една и съща мярка.
Бисектрисът, медианата и медиатрицата са съвпадащи
Символът разделя страната на триъгълника на две части. В равностраненните триъгълници тази страна ще бъде разделена на две точно равни части, т.е. триъгълникът ще бъде разделен на два еднакви правоъгълни триъгълника.
По този начин, ситекторите, извлечени от всеки ъгъл на равностранен триъгълник, съвпадат със средната и ситектория на страната, противоположна на този ъгъл.
например:
Следващата фигура показва триъгълника ABC със средна точка D, която разделя една от страните му на два сегмента AD и BD.
Когато начертаете линия от точка D към обратния връх, по дефиниция получавате медианния CD, който е относително на върха C и страната AB.
Тъй като CD сегментът разделя триъгълника ABC на два триъгълника, равен на CDB и CDA, това означава, че ще имаме случай на съвпадение: страничен, ъглов, страничен и следователно CD ще бъде и ситектор на BCD.
Когато се изчертава сегментът на CD, ъгълът на върха се разделя на два равни ъгли от 30 °, ъгълът на върха А продължава да се измерва 60 °, а линията CD образува ъгъл от 90 ° спрямо средната точка D.
Сегментният CD формира ъгли, които имат едно и също измерване за триъгълниците ADC и BDC, т.е. те са допълнителни по такъв начин, че измерването на всеки един ще бъде:
Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 °
2 * Мед. (ADC) = 180 °
Med. (ADC) = 180o2
Med. (ADC) = 90o.
И така, имаме, че CD сегментът също е и bisector на AB страна.
Ситекторите и височината са съвпадащи
Когато начертавате бисектриса от върха на ъгъл до средната точка на противоположната страна, той разделя равностранен триъгълник на два еднакви триъгълника.
По такъв начин, че се образува ъгъл от 90o (прав). Това показва, че този сегмент от линии е напълно перпендикулярна на тази страна и по дефиниция тази линия ще бъде височината.
По този начин бисектрисата на всеки ъгъл на равностранен триъгълник съвпада с относителната височина на противоположната страна на този ъгъл.
Ортоцентър, барицентър, стимулатор и окръжност съвпадат
Тъй като височината, медианата, бисектрисата и бисектрисата са представени едновременно от един и същ сегмент, в равностранен триъгълник точките на срещата на тези сегменти - ортоцентъра, барицентъра, стимула и окръжността - ще бъдат в една и съща точка:
Как да изчислим периметъра?
Периметърът на полигона се изчислява по сумата на страните. Тъй като в този случай равностранен триъгълник има всичките си страни със същата мярка, неговият периметър се изчислява по следната формула:
P = 3 * страна.
Как да изчислим височината?
Тъй като височината е линията, перпендикулярна на основата, тя я разделя на две равни части, като се простира до обратния връх. Така се образуват два равни правоъгълни триъгълника.
Височината (h) представлява противоположната страна (а), половината от страната АС до съседната страна (b) и страната BC представлява хипотенузата (с).
Използвайки Питагоровата теорема, можете да определите стойността на височината:
a 2 + b 2 = c 2
когато:
a2 = височина (h).
b2 = страна b / 2.
c2 = страна a.
Заменяйки тези стойности в Питагоровата теорема и изчиствайки височината имаме:
h 2 + ( l / 2) 2 = l 2
h 2 + l 2/4 = l 2
h 2 = l 2 - l 2/4
h 2 = (4 * l 2 - l 2) / 4
h 2 = 3 * 1 2/4
2 h 2 = √ (3 * l 2/4)
Ако е известен ъгълът, образуван от конгруентните страни, височината (представена от крака) може да се изчисли чрез прилагане на тригонометричните отношения.
Краката се наричат противоположни или съседни в зависимост от ъгъла, който се приема като еталон.
Например, в предишната фигура катетусът h ще бъде обратен за ъгъла С, но в съседство с ъгъла В:
Така височината може да се изчисли с:
Как да изчислим страните?
Има случаи, в които измерванията на страните на триъгълника не са известни, но тяхната височина и ъглите, които се образуват във върховете.
За да се определи площта в тези случаи е необходимо да се прилагат тригонометричните съотношения.
Познавайки ъгъла на един от нейните върхове, краката се идентифицират и се използва съответното тригонометрично съотношение:
По този начин, крак АВ, ще бъде противоположен за ъгъла С, но в съседство с ъгъла А. В зависимост от страната или крака, съответстваща на височината, другата страна е изчистена, за да се получи стойността на това, като се знае, че в равностранен триъгълник трите страни винаги ще имат една и съща мярка.
Как да изчислим площта?
Площта на триъгълниците винаги се изчислява по същата формула, умножаваща базата по височина и разделяща се на две:
Площ = (b * h). 2
Знаейки, че височината се дава по формулата:
обучение
Първо упражнение
Страните на равностранен триъгълник ABC измерват по 20 cm всеки. Изчислете височината и площта на този полигон.
разтвор
За да се определи площта на този равностранен триъгълник е необходимо да се изчисли височината, като се знае, че когато го рисува, тя разделя триъгълника на две равни правоъгълници.
По този начин Питагоровата теорема може да се използва, за да го намери:
a 2 + b 2 = c 2
когато:
а = 20/2 = 10 cm.
b = височина
с = 20 cm
Данните в теоремата се заменят:
102 + b2 = 202
100 cm + b 2 = 400 cm
b2 = (400 - 100) cm
b 2 = 300 cm
b = 300 cm
b = 17, 32 cm.
Това означава, че височината на триъгълника е равна на 17, 32 cm. Сега е възможно да се изчисли площта на дадения триъгълник, като се замени с формулата:
Площ = (b * h). 2
Площ = (20 cm * 17, 32 cm). 2
Площ = 346, 40 cm2. 2
Площ = 173.20 cm2.
Друг по-лесен начин за решаване на упражнението е да се заместят данните в директната формула на областта, където стойността на височината също се открива неявно:
Второ упражнение
В земя, която има форма на равностранен триъгълник, цветята ще бъдат засадени. Ако периметърът на тази земя е равен на 450 м, изчислете броя на квадратните метри, заети от цветята.
разтвор
Знаейки, че периметърът на триъгълника съответства на сумата от трите му страни и тъй като теренът има формата на равностранен триъгълник, трите страни на този триъгълник ще имат една и съща мярка или дължина:
P = страна + страна + страна = 3 * l
3 * l = 450 m.
l = 450 m 3
l = 150 m.
Сега е необходимо само да се изчисли височината на този триъгълник.
Височината разделя триъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника, където един от краката представлява височина, а другата половина на основата. Според Питагоровата теорема височината може да се определи:
a 2 + b 2 = c 2
когато:
a = 150 m = 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = височина
Данните в теоремата се заменят:
(75 m) 2 + b 2 = (150 m) 2
5.625 m + b 2 = 22.500 m
b 2 = 22 500 m - 5 625 m
b2 = 16, 875 m
b = 7516, 875 m
b = 129, 90 m.
Така че областта, която ще заеме цветята, ще бъде:
Площ = b * h ÷ 2
Площ = (150 m * 129, 9 m). 2
Площ = (19, 485 м2) ÷ 2
Площ = 9 742, 5 м2
Трето упражнение
Равностранен триъгълник ABC е разделен от линеен сегмент, който преминава от неговия връх C до средната точка D, разположена на противоположната страна (AB). Този сегмент е с размери 62 метра. Изчислете площта и периметъра на този равностранен триъгълник.
разтвор
Знаейки, че равностранен триъгълник е разделен от сегмент от линия, който съответства на височината, образувайки два еднакви десни триъгълника, това от своя страна също разделя ъгъла на върха С на два ъгъла с една и съща мярка, по 30о всяка.
Височината образува ъгъл от 90o по отношение на сегмент AB, а ъгълът на върха А ще измерва 60 °.
След това, като се използва 30 ° ъгъл като еталон, височината CD се поставя като крак, съседен на ъгъла и BC като хипотенуза.
От тези данни може да се определи стойността на една от страните на триъгълника, като се използват тригонометричните съотношения:
Тъй като в равностранен триъгълник всички страни имат точно една и съща мярка или дължина, това означава, че всяка страна на равностранен триъгълник ABC е равна на 71, 6 метра. Знаейки, че е възможно да се определи вашата област:
Площ = b * h ÷ 2
Площ = (71, 6 m * 62 m). 2
Площ = 4, 438.6 m2 2
Площ = 2219, 3 м2
Периметърът се определя от сумата на трите му страни:
P = страна + страна + страна = 3 * l
P = 3 * 1
Р = 3 * 71.6 m
Р = 214.8 m.
