Известни продукти: обяснения и решени упражнения

Забележителните продукти са алгебрични операции, в които се изразяват умножения на полиноми, които не трябва да се решават традиционно, а с помощта на определени правила можете да намерите резултатите от тях.

Полиномите се умножават сами по себе си, следователно те могат да имат голям брой термини и променливи. За да се направи процесът по-кратък, се използват правилата на забележителните продукти, които позволяват да се правят мултипликации, без да се налага да преминават по срокове.

Известни продукти и примери

Всеки забележителен продукт е формула, която произтича от факторизация, съставена от полиноми от различни термини като биноми или триноми, наречени фактори.

Факторите са в основата на властта и имат показател. Когато коефициентите се умножат, трябва да се добавят показателите.

Има няколко забележителни продуктови формули, някои от тях са по-използвани от други, в зависимост от полиномите и са следните:

Биномен на квадрат

Това е умножението на самото биномно число, изразено във формата на сила, където се добавят или изваждат термините:

а. Binomial sum-squared: е равен на квадрата на първия член, плюс двойния продукт на термините, плюс квадрата на втория термин. Тя се изразява, както следва:

(a + b) 2 = (a + b) _* (a + b).

Следващата фигура показва как продуктът е разработен в съответствие с гореспоменатото правило. Резултатът се нарича триномен на идеалния квадрат.

Пример 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Пример 2

(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a _* 2b) + (2b) 2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

б. Биномиал на изваждане на квадрата: прилага се същото правило на бинома на сума, само че в този случай вторият термин е отрицателен. Формулата му е следната:

(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2

(a - b) 2 = a2 + 2a _* (-b) + (-b) 2

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.

Пример 1

(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x _* 6) + 62

(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.

Продукт от спрегнати биноми

Два бинома са спрегнати, когато вторият член на всеки от тях е с различни знаци, тоест, че първият е положителен, а вторият отрицателен или обратното. Решете като повдигнете всеки мономерен квадрат и извадете. Формулата му е следната:

(a + b) _* (a - b)

В следващата фигура се развива продуктът на две спрегнати биноми, където се наблюдава, че резултатът е разлика на квадратите.

Пример 1

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Продукт на два биномина с общ термин

Той е един от най-сложните и малко използвани забележителни продукти, защото това е умножение на два бинома, които имат общ термин. Правилото показва следното:

Квадратът на общия термин.
Плюс добавете термините, които не са общи и след това ги умножете по общия термин.
Плюс сумата на умножението на термини, които не са често срещани.

Тя е представена във формулата: (x + a) _* (x + b) и се развива, както е показано на изображението. Резултатът е квадратен трином, който не е съвършен.

(x + 6) _* (x + 9) = x2 + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Има вероятност вторият термин (различен термин) да е отрицателен и неговата формула да е следната: (x + a) _* (x - b).

Пример 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x2 + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Може да се окаже, че и двата различни термина са отрицателни. Формулата му ще бъде: (x - a) _* (x - b).

Пример 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b2 + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Квадратен полином

В този случай има повече от два термина и за да се развие, всеки от тях се поставя на квадрат и се добавя заедно с двойно умножение на един термин с друг; неговата формула е: (a + b + c) 2 и резултатът от операцията е квадрат с триномен.

Пример 1

(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Бином на куба

Това е забележителен сложен продукт. За да го развиете, умножете бинома с неговия квадрат по следния начин:

а. За бинома на кубчето на сумата:

Кубът на първия член плюс тройката на квадрата на първия член от втория.
Плюс тройката на първия член, от втория квадрат.
Плюс куба на втория термин.

(a + b) 3 = (a + b) _* (a + b) 2

(a + b) 3 = (a + b) _* (a2 + 2ab + b2)

(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Пример 1

(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 _* (3) + 3 (a) _* (3) 2 + (3) 3

(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

б. За бинома на куба на изваждането:

Кубът на първия член, по-малко тройката на квадрата на първия член от втория.
Плюс тройката на първия член, от втория квадрат.
По-малко куб от втория термин.

(a - b) 3 = (a - b) _* (a - b) 2

(a - b) 3 = (a - b) _* (a2 - 2ab + b2)

(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Пример 2

(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 _* (-5) + 3 (b) _* (-5) 2 + (-5) 3

(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.

Кофа на триномен

Тя се развива чрез умножаване по квадрат. Това е забележителен продукт, който е много обширен, тъй като има 3 изразени термина в куба, плюс три пъти всеки термин на квадрат, умножен по всеки от термините, плюс шест пъти продукта от трите термина. Погледнат по-добре:

(a + b + c) 3 = (a + b + c) _* (a + b + c) 2

(a + b + c) 3 = (a + b + c) _* (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Пример 1

Решени упражнения за забележителни продукти

Упражнение 1

Разработете следния бином на куба: (4x - 6) 3.

разтвор

Спомняйки си, че един бином на куба е равен на първия член, повдигнат на куба, по-малко от тройката на квадрата на първия член от втория; плюс тройката на първия член, от втория квадрат, минус куба на втория член.

(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) _* (6) 2 - (6) 2

(4x - 6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Упражнение 2

Разработете следния бином: (x + 3) (x + 8).

разтвор

Има един бином, където има общ термин, който е x, а вторият термин е положителен. За да я развиете, трябва само да сдвоите общия термин, плюс сумата на термините, които не са общи (3 и 8) и след това да ги умножите по общия термин, плюс сумата на умножението на термините, които не са често срещани.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.