Полиномни уравнения (с решени упражнения)

Полиномиалните уравнения са изявление, което повдига равенството на две изрази или членове, където поне един от термините, които съставят всяка страна на равенството, са полиноми P (x). Тези уравнения се наименуват според степента на техните променливи.

По принцип уравнението е твърдение, което установява равенството на две изрази, където в поне едно от тях има неизвестни величини, които се наричат променливи или неизвестни. Въпреки че има много видове уравнения, те обикновено се класифицират в два типа: алгебрични и трансцендентални.

Полиномиалните уравнения съдържат само алгебрични изрази, които могат да имат едно или повече неизвестни, участващи в уравнението. Според показателя (клас) те могат да бъдат класифицирани на: първа степен (линейна), втора степен (квадратична), трета степен (кубична), четвърта степен (кварцитна), по-голяма или равна на пет и ирационална.

функции

Полиномиалните уравнения са изрази, които се формират от равенство между два полинома; т.е. от крайните суми на умножения между стойности, които са неизвестни (променливи) и фиксирани числа (коефициенти), където променливите могат да имат експоненти и тяхната стойност може да бъде положително цяло число, включително нула.

Експонентите определят степента или вида на уравнението. Този термин на израза, който има най-високата стойност на експонента, ще представлява абсолютната степен на полинома.

Полиномиалните уравнения са известни също като алгебрични, техните коефициенти могат да бъдат реални или комплексни числа, а променливите са неизвестни числа, представени от буква, например "x".

Ако замествайки стойност с променливата "x" в P (x), резултатът е равен на нула (0), тогава се казва, че тази стойност удовлетворява уравнението (това е решение) и обикновено се нарича корен на полинома.

Когато се разработи полиномно уравнение, искате да намерите всички корени или решения.

тип

Съществуват няколко типа полиномни уравнения, които се диференцират според броя на променливите, а също и според степента им на експоненция.

По този начин, полиномни уравнения - където първият член е полином само с едно неизвестно, като се има предвид, че неговата степен може да бъде всяко естествено число (n) и вторият член е нула, може да се изрази, както следва:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

когато:

- a _n, a _n-1 и ₀, са реални коефициенти (числа).

- a _n е различен от нула.

- Показателят n е положително цяло число, което представлява степента на уравнението.

- x е променливата или неизвестната, която трябва да се търси.

Абсолютната или по-голяма степен на полиномиално уравнение е този показател с по-голяма стойност сред всички, които образуват полинома; по този начин уравненията се класифицират като:

Първи клас

Полиномиалните уравнения от първа степен, известни също като линейни уравнения, са тези, в които степента (най-голямата степен) е равна на 1, полиномът е от вида P (x) = 0; и се състои от линеен термин и независим термин. Писа се по следния начин:

ax + b = 0.

когато:

- a и b са реални числа вече ≠ 0.

- ax е линейният термин.

- b е независим термин.

Например уравнението 13x - 18 = 4x.

За да се решат линейните уравнения, всички термини, които съдържат неизвестното x, трябва да се предават от едната страна на равенството, а тези, които нямат същото движение към другата страна, за да я изчистят и да получат решение:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

х = 18. 9

x = 2

По този начин даденото уравнение има едно решение или корен, което е x = 2.

Втори клас

Полиномиалните уравнения от втора степен, известни също като квадратични уравнения, са тези, в които степента (най-голямата степен) е равна на 2, полиномът е от вида P (x) = 0 и е съставен от квадратичен член, един линеен и един независим. Тя се изразява, както следва:

ax2 + bx + c = 0.

когато:

- a, b и c са реални числа вече ≠ 0.

- ax2 е квадратичен член, а "a" е коефициентът на квадратичния термин.

- bx е линейният член, а "b" е коефициентът на линейния член.

- c е независим термин.

resolvente

Като цяло, решението на този тип уравнения се дава чрез изчистване на x от уравнението и то остава както следва, което се нарича резолвер:

Там (b2 - 4ac) се нарича дискриминант на уравнението и този израз определя броя на решенията, които уравнението може да има:

- Ако (b2 - 4ac) = 0, уравнението ще има едно решение, което е двойно; това означава, че ще имате две еднакви решения.

- Ако (b2 - 4ac)> 0, уравнението ще има две различни реални решения.

- Ако (b2 - 4ac) <0, уравнението няма решение (то ще има две различни комплексни решения).

Например, имаме уравнението 4x2 + 10x - 6 = 0, за да го решим, първо идентифицираме термините а, b и с и след това го заменим с формулата:

a = 4

b = 10

с = -6.

Има случаи, в които полиномиалните уравнения от втора степен нямат трите термина и затова се решават по различен начин:

- В случай, че квадратичните уравнения нямат линейния член (т.е. b = 0), уравнението ще бъде изразено като ax2 + c = 0. За да се реши, x2 се изчиства и квадратните корени се прилагат във всеки член, запомняйки това трябва да се разглежда като два възможни признака, които могат да имат инкогнито:

ax2 + c = 0.

x2 = - c. a

Например 5 x2 - 20 = 0.

5 х2 = 20

x2 = 20. 5

x = ± .4

х = ± 2

x ₁ = 2

х ₂ = -2

- Когато квадратичното уравнение няма независим термин (т.е. c = 0), уравнението ще бъде изразено като ax2 + bx = 0. За да го разрешим, трябва да извлечем общия фактор на неизвестното x в първия член; тъй като уравнението е равно на нула, вярно е, че поне един от факторите ще бъде равен на 0:

ax2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

По този начин трябва да:

x = 0

x = -b ÷ a.

Например: имате уравнението 5x2 + 30x = 0. Първи фактор:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Генерират се два фактора, които са xy (5x + 30). Счита се, че един от тях ще бъде равен на нула, а другото решение ще бъде дадено:

x ₁ = 0

5x + 30 = 0

5x = -30

х = -30 ° 5

х2 = -6.

Голяма степен

Полиномиалните уравнения с по-голяма степен са тези, които преминават от трета степен нататък, които могат да бъдат изразени или разрешени с общото полиномно уравнение за всяка степен:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

Това се използва, защото уравнение със степен, по-голяма от две, е резултат от факторизацията на полином; т.е. изразява се като умножение на полиноми от степен едно или по-голямо, но без действителни корени.

Решението на този тип уравнения е директно, защото умножението на два фактора ще бъде равно на нула, ако някой от факторите е нула (0); следователно, всяко от установените полиномни уравнения трябва да бъде разрешено, приравнявайки всеки от неговите фактори на нула.

Например, имате уравнението от трета степен (кубична) x3 + x2 + 4x + 4 = 0. За да го решите, трябва да следвате следните стъпки:

- Условията са групирани:

x3 + x2 + 4x + 4 = 0

(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.

- Членовете са разбити, за да получат общия фактор на неизвестното:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4) _* (x + 1) = 0.

- По този начин се получават два фактора, които трябва да бъдат равни на нула:

(х2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Вижда се, че факторът (x2 + 4) = 0 няма да има реално решение, докато факторът (x + 1) = 0. Следователно решението е:

(x + 1) = 0