Аналитична геометрия: какви изследвания, история, приложения

Аналитичната геометрия изследва линиите и геометричните фигури чрез прилагане на основни техники на алгебра и математически анализ в определена координатна система.

Следователно, аналитичната геометрия е клон на математиката, който анализира подробно всички данни за геометричните фигури, т.е. обема, ъглите, зоната, пресечните точки, техните разстояния и др.

Основната характеристика на аналитичната геометрия е, че позволява представянето на геометрични фигури чрез формули.

Например, кръговете са представени от полиномни уравнения от втора степен, а линиите са изразени с полиномни уравнения от първа степен.

Аналитичната геометрия се появява през седемнадесети век от необходимостта да се дадат отговори на проблемите, които досега не са имали решение. Той имаше като върховни представители Рене Декарт и Пиер дьо Ферма.

Понастоящем много автори го посочват като революционно творение в историята на математиката, тъй като то представлява началото на съвременната математика.

История на аналитичната геометрия

Терминът аналитична геометрия възниква във Франция през седемнадесети век от необходимостта да се дадат отговори на проблеми, които не могат да бъдат решени с помощта на алгебра и геометрия в изолация, но решението е в комбинираното използване на двете.

Основни представители на аналитичната геометрия

През седемнадесети век двама французи, по случайност на живота, извършват изследвания, които по един или друг начин завършват със създаването на аналитична геометрия. Тези хора бяха Пиер дьо Ферма и Рене Декарт.

В момента се счита, че създателят на аналитичната геометрия е Рене Декарт. Това е така, защото той публикува книгата си преди тази на Ферма, а също така и в дълбочина с Декарт се занимава с предмета на аналитичната геометрия.

Въпреки това, както Ферма, така и Декарт откриват, че линиите и геометричните фигури могат да бъдат изразени чрез уравнения и уравненията могат да бъдат изразени като линии или геометрични фигури.

Според откритията, направени от двете, може да се каже, че и двамата са създателите на аналитичната геометрия.

Пиер дьо Ферма

Пиер дьо Ферма е френски математик, който е роден през 1601 г. и умира през 1665 г. По време на живота си той изучава геометрията на Евклид, Аполоний и Пап, за да реши проблемите, които съществуват по това време.

Впоследствие тези проучвания отприщиха създаването на геометрия. В крайна сметка те се изразяват в книгата му " Въведение в плоските и солидни места " (Ad Locos Planes et Solidos Isagoge), която е публикувана 14 години след смъртта му през 1679 година.

Пиер дьо Ферма прилага 1623 г. аналитичната геометрия на теоремите на Аполоний върху геометричните места. Той също така е приложил аналитичната геометрия за пръв път в пространството от три измерения.

Рене Декарт

Също известен като Cartesius е математик, физик и философ, който е роден на 31 март 1596 г. във Франция и умира през 1650 година.

През 1637 г. Рене Декарт публикува книгата си " Дискурсът за метода на управление на разума и търсенето на истината в науките ", по-известен като " Методът " и оттук в света е въведен терминът "аналитична геометрия". Едно от приложенията му беше "Геометрия".

Основни елементи на аналитичната геометрия

Аналитичната геометрия се състои от следните елементи:

Декартова координатна система

Тази система е кръстена на Рене Декарт.

Той не го е кръстил, нито е завършил картезианската координатна система, но той е този, който говори за координати с положителни числа, позволяващи на бъдещите учени да го завършат.

Тази система се състои от правоъгълна координатна система и полярна координатна система.

Правоъгълни координатни системи

Тя се нарича правоъгълна координатна система към равнината, образувана от линията на две перпендикулярни цифрови линии, където точката на срязване съвпада с общата нула.

Тогава тази система ще бъде съобразена с хоризонтална и вертикална линия.

Хоризонталната линия е оста на X или оста на абсцисата. Вертикалната линия ще бъде осът на Y или оста на ординатите.

Полярна координатна система

Тази система е отговорна за проверка на относителното положение на дадена точка по отношение на фиксирана линия и фиксирана точка на линията.

Декартово уравнение на линията

Това уравнение се получава от една линия, когато са известни две точки, където преминава.

Права линия

Той е този, който не се отклонява и следователно няма криви или ъгли.

коничен

Това са кривите, определени от правите линии, които минават през фиксирана точка и точките на кривата.

Елипсата, обиколката, параболата и хиперболата са конични криви. Всеки от тях е описан по-долу.

обиколка

Тя се нарича обиколка на затворената плоска крива, която се формира от всички точки на еквидистантна равнина на вътрешна точка, тоест, на центъра на окръжността.

притча

Това е мястото на точките на равнината, които са на еднакво разстояние от фиксирана точка (фокус) и фиксирана линия (directrix). Тогава насоката и фокусът са това, което определя притчата.

Параболата може да бъде получена като част от конична повърхност на въртене чрез равнина, успоредна на образуващата.

елипса

Елипсата се нарича затворена крива, която описва точка при движение в равнината по такъв начин, че сумата от разстоянията до две (2) фиксирани точки (наречени огнища) е постоянна.

хипербола

Хиперболата е кривата, определена като мястото на точките на равнината, за които разликата между разстоянията на две неподвижни точки (огнища) е постоянна.

Хиперболата има ос на симетрия, която преминава през фокусите, наречена фокална ос. Той също така има и друг, който е медиатрицата на сегмента, който има фиксирани точки чрез крайности.

приложения

Има различни приложения на аналитичната геометрия в различни области на ежедневието. Например, можем да намерим парабола, един от основните елементи на аналитичната геометрия, в много от инструментите, които се използват ежедневно. Някои от тези инструменти са следните:

Сателитна антена

Параболичните антени имат рефлектор, генериран като следствие от парабола, която се върти по оста на споменатата антена. Повърхността, която се генерира в резултат на това действие се нарича параболоид.

Този капацитет на параболоида се нарича оптично свойство или свойство на отражение на парабола и благодарение на това е възможно параболоидът да отразява електромагнитните вълни, които получава от механизма за подаване, който съставя антената.

Висящи мостове

Когато въжето има тежест, която е хомогенна, но в същото време е значително по-голяма от теглото на самото въже, резултатът ще бъде парабола.

Този принцип е фундаментален за изграждането на окачващи мостове, които обикновено се поддържат от големи конструкции от стоманени кабели.

Принципът на параболата във висящи мостове е бил използван в структури като моста Голдън Гейт, разположен в град Сан Франциско, в Съединените щати, или Великия мост на пролива Акаши, който се намира в Япония и свързва островът на Awaji с Honshū, главен остров на тази страна.

Астрономически анализ

Аналитичната геометрия също има много специфични и определящи приложения в областта на астрономията. В този случай елементът на аналитичната геометрия, който заема централно място, е елипсата; Законът на Йоханес Кеплер за движението на планетите е отражение на това.

Кеплер, математик и германски астроном, определи, че елипсата е кривата, която по-добре е приспособила движението на Марс; преди това той е опитвал циркулярния модел, предложен от Коперник, но в средата на своите експерименти той заключи, че елипсата служи за привличане на орбита, идеално подобна на изучаваната от него планета.

Благодарение на елипсата, Кеплер можеше да твърди, че планетите се движат в елиптични орбити; това съображение беше изказването на така наречения втори закон на Кеплер.

От това откритие, по-късно обогатено от английския физик и математик Исак Нютон, беше възможно да се изследват орбиталните движения на планетите и да се увеличи знанието, което имахме за вселената, от която сме част.

Телескоп Касегрейн

Телескопът Cassegrain носи името на неговия изобретател, роден във Франция, физикът Laurent Cassegrain. В този телескоп се използват принципите на аналитичната геометрия, защото тя се състои главно от два огледала: първият е вдлъбнат и параболичен, а вторият се характеризира с изпъкналост и хиперболичност.

Местоположението и естеството на тези огледала позволяват дефектът, известен като сферична аберация, да не се осъществи; този дефект предотвратява отразяването на лъчите на светлината във фокуса на дадена леща.

Телескопът Cassegrain е много полезен за наблюдение на планетите, както и е много гъвкав и лесен за управление.