Какви са наклонените триъгълници? (с решени упражнения)

Наклонените триъгълници са тези триъгълници, които не са правоъгълници. Това означава, че триъгълници, така че нито един от неговите ъгли не е прав ъгъл (неговото измерване е 90 °).

Без правоъгълник, тогава Питагоровата теорема не може да бъде приложена към тези триъгълници.

Следователно, за да знаем данните в наклонен триъгълник, е необходимо да използваме други формули.

Формулите, необходими за решаване на наклонен триъгълник, са така наречените закони на синусите и косинусите, които ще бъдат описани по-късно.

В допълнение към тези закони, винаги може да се използва фактът, че сумата на вътрешните ъгли на триъгълника е равна на 180º.

Наклонни триъгълници

Както беше казано в началото, наклоненият триъгълник е триъгълник, така че нито един от неговите ъгли не измерва 90º.

Проблемът с намирането на дължините на страните на наклонен триъгълник, както и намирането на измерванията на техните ъгли, се нарича "резолюция на наклонени триъгълници".

Важен факт при работа с триъгълници е, че сумата от трите вътрешни ъгъла на триъгълника е равна на 180º. Това е общ резултат, следователно за наклонени триъгълници може също да се приложи.

Закони на гърдите и косинусите

Даден е триъгълник ABC със страни с дължина "a", "b" и "c":

- Законът на гърдите гласи, че a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), където A, B и C са противоположни ъгли към «a», «b» и «c "съответно.

- Законът на косинусите заявява, че: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Еквивалентно могат да се използват следните формули:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) или a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

С помощта на тези формули могат да бъдат изчислени данните на наклонен триъгълник.

обучение

По-долу са дадени някои упражнения, в които трябва да намерите липсващите данни на дадени триъгълници, от определени предоставени данни.

Първо упражнение

Даден триъгълник ABC такъв, че A = 45º, B = 60º и a = 12cm, изчислете другите данни на триъгълника.

разтвор

Използвайки, че сумата от вътрешните ъгли на триъгълника е равна на 180º, трябва да

С = 180 ° -45 ° -60 ° = 75 °.

Трите ъгли вече са известни. След това използвайте закона на гърдите, за да изчислите двете страни, които липсват.

Посочените уравнения са 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

От първото равенство можете да изчистите "b" и да получите

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14, 696cm.

Можете също така да изчистите "c" и да получите това

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16, 392cm.

Второ упражнение

Като се има предвид, че триъгълникът ABC е такъв, че A = 60º, C = 75º и b = 10cm, изчислете другите данни на триъгълника.

разтвор

Както и при предишното упражнение, B = 180º-60º-75º = 45º. Освен това, използвайки закона на гърдите е необходимо a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), от което се получава, че a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm и c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13, 660 cm.

Трето упражнение

Като се има предвид, че триъгълникът ABC е такъв, че a = 10cm, b = 15cm и C = 80º, изчислете другите данни на триъгълника.

разтвор

В това упражнение е известен само един ъгъл, затова не можете да започнете, както сте направили в предишните две упражнения. Също така, законът на гърдите не може да бъде приложен, защото не може да се реши уравнение.

Затова продължаваме да прилагаме закона на косинусите. Тогава е това

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

така че c ≈ 16.51 cm. Сега, знаейки трите страни, законът на гърдите се използва и вие получавате

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51cm / sin (80º).

Оттук, при изчистването на В се получава без (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, което означава, че B ≈ 63.38º.

Сега може да се получи, че А = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Четвърто упражнение

Страните на наклонен триъгълник са a = 5cm, b = 3cm и c = 7cm. Изчислете ъглите на триъгълника.

разтвор

Отново законът на гърдите не може да бъде приложен директно, тъй като нито едно уравнение няма да служи за получаване на стойността на ъглите.

Използвайки закона на косинуса, имаме, че c² = a² + b² - 2ab cos (C), където, когато се изчистим имаме, че cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 х 5 * 3 = -15/30 = -1/2 и следователно С = 120 °.

Сега, ако можете да приложите закона на гърдите и да получите 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), където можете да изчистите B и да получите това без (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371, така че B = 21.79º.

И накрая, последният ъгъл се изчислява, като се използва A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.