Дискретно преобразуване на Фурие: свойства, приложения и примери
Дискретното преобразуване на Фурие е цифров метод, използван за дефиниране на образци, отнасящи се до спектралните честоти, които съставят сигнал. Проучване на периодични функции в затворени параметри, което води до друг дискретен сигнал.
За да се получи дискретно преобразуване на Фурие на N точки, на дискретен сигнал, трябва да бъдат изпълнени следните две условия на последователност x [n]:
x [n] = 0 n N - 1
Чрез изпълнение на тези условия дискретно преобразуване на Фурие може да бъде определено като
Дискретното преобразуване на Фурие може да бъде определено като семплиране в N точки на преобразуването на Фурие.
Интерпретиране на дискретно преобразуване на Фурие
Има 2 гледни точки, от които можете да интерпретирате получените резултати по последователност x s [n] чрез дискретно преобразуване на Фурие.
Първият отговаря на спектралните коефициенти, вече известни от сериите на Фурие. Той се наблюдава в дискретни периодични сигнали, като пробите съвпадат с последователността x s [n].
Вторият се занимава с спектъра на дискретен апериодичен сигнал, с образци, съответстващи на последователността x s [n].
Дискретната трансформация е приближение към спектъра на оригиналния аналогов сигнал. Фазата му зависи от времето на вземане на проби, а нейната величина зависи от интервала на вземане на проби.
свойства
Алгебричните основи на структурата съставляват логическите основи на следващите раздели.
линейност
C. S n → C. F [ S k ]; Ако една последователност се умножи по скалар, нейната трансформация също ще бъде.
T n + V n = F [T k ] + F [V k ]; Трансформацията на сумата е равна на сумата от преобразуванията.
двойственост
F [S n ] → (1 / N) S- k; Ако трансформираният израз се преизчисли чрез дискретното преобразуване на Фурие, се получава същия израз, мащабиране в N и инвертиране по отношение на вертикалната ос.
навиване
Следвайки същите цели, че при преобразуването на Лаплас, нагъването на функциите се отнася до продукта сред неговите преобразувания на Фурие. Свиването се отнася и за дискретни времена и е отговорно за много съвременни процедури.
X n * R n → F [X n ] .F [R n ]; Преобразуването на една намотка е равно на произведението на трансформациите.
X n . R n → F [X n ] * F [R n ]; Преобразуването на даден продукт е равно на конволюцията на трансформациите.
изместване
X nm → F [X k ] e-i (2π / N) km; Ако една последователност се забави в m проби, нейният ефект в дискретната трансформация ще бъде модификация на ъгъла, определен от (2π / N) km.
Конюгирана симетрия
Xt [-k] = X * t [k] = Xt [N - K]
модулация
W-nm N. x [n] t X t [k - m]
продукт
x [n] и [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Yt [k]
симетрия
X [-n] t X t [-k] = X * t [k]
съединен
x * [n] ↔ X * t [-k]
Уравнение на Парсевал
Прилики и различия с преобразуването на Фурие
По отношение на конвенционалното преобразуване на Фурие, то има няколко прилики и разлики. Преобразуването на Фурие преобразува последователност в непрекъсната линия. По този начин се казва, че резултатът от променливата на Фурие е сложна функция на реална променлива.
Дискретното преобразуване на Фурие, напротив, получава дискретен сигнал и го преобразува в друг дискретен сигнал, т.е. последователност.
За какво е дискретно преобразуване на Фурие?
Те служат главно за значително опростяване на уравненията, като същевременно трансформират производните изрази в енергийни елементи. Обозначаване на диференциални изрази във форми на интегрируеми полиноми.
При оптимизирането, модулирането и моделирането на резултатите действа като стандартизиран израз, който е често използван ресурс за инженеринг след няколко поколения.
история
Тази математическа концепция е представена от Джоузеф Б. Фурие през 1811 г., докато разработва трактат за разпространението на топлина. Той бързо беше приет от различни отрасли на науката и техниката.
Тя е създадена като основен работен инструмент при изучаването на частични диференциални уравнения, дори и в сравнение с работната връзка между преобразуването на Лаплас и обикновените диференциални уравнения.
Всяка функция, която може да се работи с преобразуването на Фурие, трябва да има нулева стойност извън определен параметър.
Дискретно преобразуване на Фурие и неговата инверсия
Дискретното преобразуване се получава чрез израза:
След дадена дискретна последователност X [n]
Обратното на дискретното преобразуване на Фурие се определя от израза:
След като бъде постигната дискретна трансформация, дефинирайте последователността във времевия домейн X [n].
аз на прозореца,
Процесът на параметризация, съответстващ на дискретното преобразуване на Фурие, се намира в прозореца. За да работим с трансформацията, трябва да ограничим последователността във времето. В много случаи въпросните сигнали нямат такива ограничения.
Последователност, която не отговаря на критериите за размер, за да се приложи към дискретна трансформация, може да бъде умножена с "прозоречна" функция V [n], определяща поведението на последователността в контролиран параметър.
X [n] V [n]
Ширината на спектъра ще зависи от ширината на прозореца. С увеличаване на ширината на прозореца, изчисленото преобразуване ще бъде по-тясно.
приложения
Изчисляване на фундаменталното решение
Дискретното преобразуване на Фурие е мощен инструмент при изучаването на дискретни последователности.
Дискретното преобразуване на Фурие превръща непрекъсната променлива функция в дискретна променлива трансформация.
Задачата на Коши за уравнението на топлината представя обща област на приложение на дискретното преобразуване на Фурие . Където се генерира основната топлинна функция или ядрото на Дирихле, което се прилага за извадковите стойности в определен параметър.
Сигнална теория
Общата причина за прилагането на дискретното преобразуване на Фурие в този клон е най-вече поради характерната декомпозиция на сигнала като безкрайна суперпозиция на по-лесно лечими сигнали.
Тя може да бъде звукова вълна или електромагнитна вълна, дискретното преобразуване на Фурие го изразява в суперпозиция на прости вълни. Това представяне е доста често в електротехниката.
Сериите на Фурие
Те са серийно дефинирани по отношение на косинуси и гърди. Те служат за улесняване на работата с общи периодични функции. Когато се прилагат, те са част от техниките за решаване на частични и обикновени диференциални уравнения.
Сериите на Фурие са дори по-общи от серията Тейлър, защото те развиват периодични прекъснати функции, които нямат представяне в сериите на Тейлър.
Други форми на сериите на Фурие
За да се разбере аналитично преобразуването на Фурие, е важно да се преразгледат другите начини, по които се срещат сериите на Фурие, докато можем да дефинираме сериите на Фурие в нейната комплексна нотация.
- Сериите на Фурие за функцията за период от 2L:
Много пъти е необходимо да се адаптира структурата на сериите на Фурие към периодични функции, чийто период е p = 2L> 0 в интервала [-L, L].
- Редове на Фурие в нечетни и четни функции
Разглежда се интервалът [-π, π], който предлага предимства, когато се възползват от симетричните характеристики на функциите.
Ако f е равен, сериите на Фурие се установяват като поредица от косинуси.
Ако f е нечетно, сериите на Фурие са установени като серия от Sines.
- Пълна нотация на сериите на Фурие
Ако имате функция f (t), която отговаря на всички изисквания на сериите на Фурие, е възможно да я обозначим в интервала [-t, t], използвайки неговата комплексна нотация:
Примери
По отношение на изчисляването на фундаменталното решение са представени следните примери:
Уравнение на Лаплас
Уравнение на топлината
Уравнение на Шрьодингер
Вълново уравнение
От друга страна са примери за приложение на дискретно преобразуване на Фурие в областта на теорията на сигнала, както следва:
-Проблеми на идентификацията на системата. Създаден е фиг
-Проблема с последователността на изходния сигнал
Проблеми с филтрирането на сигнала
обучение
Упражнение 1
Изчислете дискретното преобразуване на Фурие за следващата последователност.
Можете да дефинирате TDF на x [n] като:
Xt [k] = {4, -j2, 0, j2} за k = 0, 1, 2, 3
Упражнение 2
Чрез цифров алгоритъм искаме да определим спектралния сигнал, определен от израза x (t) = et. Когато максималният честотен коефициент е f m = 1Hz. Хармоникът съответства на f = 0.3 Hz Грешката е ограничена до по-малко от 5%. Изчислете f s, D и N.
Като се вземе предвид теоремата за вземане на проби f s = 2f m = 2 Hz
Избира се честотна резолюция f 0 = 0.1 Hz, от която получаваме D = 1 / 0, 1 = 10s
0, 3 Hz е честотата, съответстваща на индекса k = 3, където N = 3 × 8 = 24 проби. Показвайки, че f s = N / D = 24/10 = 2.4> 2
Тъй като целта е да се постигне най-ниската възможна стойност за N, следните решения могат да се разглеждат като решение:
f 0 = 0.3 Hz
D = 1 / 0.3 = 3.33 s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
