Интеграционна константа: значение, как се изчислява и примери

Константата на интеграция е добавена стойност към изчислението на антидеревативните или интегралите, тя служи за представяне на решенията, които съставляват примитива на дадена функция. Тя изразява присъща двусмислие, където всяка функция има безкраен брой примитиви.

Например, ако функцията е взета: f (x) = 2x + 1 и получаваме неговото антидеривативно:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; Където C е константата на интеграцията и графично представя вертикалния превод между безкрайните възможности на примитива. Правилно е да се каже, че (x2 + x) е един от примитивите на f (x).

По същия начин можем да дефинираме a (x2 + x + C ) като примитив на f (x).

Обратен имот

Може да се отбележи, че при извеждане на израза (x2 + x) се получава функцията f (x) = 2x + 1. Това се дължи на обратната собственост, съществуваща между деривацията и интегрирането на функции. Това свойство позволява да се получат интеграционни формули, като се започне от диференциацията. Което позволява проверка на интеграли чрез едни и същи деривати.

Обаче (x2 + x) не е единствената функция, чието производно е равно на (2x + 1).

d ( х2 + х) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

Където 1, 2, 3 и 4 представляват конкретни примитиви на f (x) = 2x + 1. Като се има предвид, че 5 представлява неопределен или примитивен интеграл на f (x) = 2x + 1.

Примитивите на дадена функция се постигат чрез процес на антидеривация или интеграл. Където F ще бъде примитив на f, ако е вярно следното

у = (f (x) dx = F (x) + C; C = постоянна интеграция
F '(x) = f (x)

Очевидно е, че дадена функция има едно единствено производно, за разлика от неговите безкрайни примитиви, получени в резултат на интеграцията.

Неопределен интеграл

(F (x) dx = F (x) + C

Съответства на семейство криви със същия модел, които изпитват несъответствие в стойността на изображенията на всяка точка (x, y). Всяка функция, която отговаря на този модел, ще бъде индивидуален примитив, а наборът от всички функции е известен като неопределен интеграл.

Стойността на интеграционната константа ще бъде тази, която отличава всяка функция на практика.

Константата за интеграция предполага вертикална промяна във всички графики, които представляват примитивите на дадена функция. Където се наблюдава паралелизмът между тях и фактът, че С е стойността на изместването.

Според обичайните практики константата на интеграция се обозначава с буквата "С" след добавяне, въпреки че на практика е безразлично, ако константата се добавя или изважда. Неговата истинска стойност може да бъде намерена по различни начини в зависимост от различни начални условия .

Други значения на интегралната константа

Вече говорихме за това как се прилага интеграционната константа в клона на интегралното смятане ; Представяне на семейство криви, които определят неопределения интеграл. Но много други науки и клонове са давали много интересни и практични стойности на интеграционната константа, които са улеснили развитието на множество изследвания.

Във физиката константата на интеграция може да приема множество стойности в зависимост от естеството на данните. Много често срещан пример е да се знае функцията V (t), която представлява скоростта на частица спрямо времето t. Известно е, че изчисляването на примитив от V (t) дава функцията R (t), която представлява позицията на частицата спрямо времето.

Константата на интеграция ще представлява стойността на началната позиция, т.е. в момента t = 0.

По същия начин, ако знаем функцията A (t), която представлява ускорението на частицата спрямо времето. Примитивната на A (t) ще доведе до функцията V (t), където интеграционната константа ще бъде стойността на началната скорост V ₀ .

В икономиката, чрез получаване на примитив на функцията на разходите чрез интеграция. Константата за интеграция ще представлява фиксираните разходи. И толкова много други приложения, които изискват диференциално и интегрално смятане.

Как се изчислява постоянната интеграция?

За изчисляване на интегралната константа винаги ще е необходимо да знаете началните условия . Които са отговорни за определянето кой от възможните примитиви е съответстващ.

В много приложения тя се разглежда като независима променлива във време (t), където константата C приема стойностите, които определят началните условия на конкретния случай.

Ако първоначалният пример е взет: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

Валидно първоначално условие може да бъде условието графиката да премине през определена координата. Например, известно е, че примитивът (x2 + x + C) преминава през точката (1, 2)

F (х) = х2 + х + С; това е общото решение

F (1) = 2

Ние заместваме общото решение в това равенство

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

От където лесно може да се заключи, че C = 0

По този начин съответният примитив за този случай е F (x) = x2 + x

Съществуват няколко вида числени упражнения, които работят с интегрални константи . Всъщност диференциалното и интегралното изчисление не спира да се прилага в текущите изследвания. В различни академични нива те могат да бъдат намерени; от първоначално изчисление, преминаване през физика, химия, биология, икономика, между другото.

Това се вижда и при изучаването на диференциални уравнения, където константата на интеграция може да приеме различни стойности и решения, което се дължи на многобройните деривации и интеграции, които се правят в тази материя.

Примери

Пример 1

Оръдие, разположено на височина 30 метра, изстрелва снаряд вертикално нагоре. Известно е, че началната скорост на снаряда е 25 m / s. определяне на:

Функцията, която определя позицията на снаряда по отношение на времето.
Времето на полета или момента, в който частицата докосва земята.

Известно е, че при равномерно различно праволинейно движение ускорението е постоянна стойност. Това е случаят с изстрелването на снаряд, където ускорението ще бъде гравитацията

g = - 10 m / s2

Известно е също, че ускорението е второто производно на позицията, което показва двойна интеграция в разрешаването на упражнението, като по този начин се получават две интегрални константи.

A (t) = -10

V (t) = (A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Първоначалните условия на упражнението показват, че началната скорост е V ₀ = 25 m / s. Това е скоростта в момента t = 0. По този начин следва, че:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ и C ₁ = 25

Функцията за скорост е дефинирана

V (t) = -10t + 25; Може да се наблюдава сходството с формулата MRUV (V _f = V ₀ + axt)

По хомоложен начин функцията за скорост е интегрирана, за да се получи изразът, който определя позицията:

R (t) = (V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C ₂

R (t) = -5t2 + 25t + C2 (примитивна позиция)

Известна е началната позиция R (0) = 30 m. Тогава се изчислява конкретната примитивна част на снаряда.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C2 . Където C2 = 30

Първата част е решена, тъй като R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; Този израз е хомоложен на формулата за изместване в MRUV R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

За втората част трябва да решим квадратичното уравнение: -5t2 + 25t + 30 = 0

Тъй като това налага частицата да достигне до земята (позиция = 0)

Всъщност уравнението от 2 клас ни дава 2 решения Т: {6, -1}. Стойността t = -1 се игнорира, тъй като това са времеви единици, чийто домейн не включва отрицателни числа.

По този начин се разрешава втората секция, където полетното време е равно на 6 секунди.

Пример 2

Намерете примитива f (x), която отговаря на първоначалните условия:

f "(х) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

С информацията за втората производна f '' (x) = 4 започва процесът на антидеривация

f '(x) ='f' '(x) dx

4 dx = 4x + C1

След това, знаейки условието f '(2) = 2, продължете:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 и f '(x) = 4x - 8

Следва същата процедура за втората интеграционна константа

f (x) ='f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C2

Първоначалното условие f (0) = 7 е известно и продължаваме:

2 (0) 2 - 8 (0) + C ₂ = 7

C2 = 7 и f (x) = 2x2 - 8x + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

По подобен начин на предишния проблем, дефинираме първите производни и оригиналната функция от началните условия.

f '(x) ='f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C ₁

При условие f '(0) = 6 продължете:

(03/3) + C ₁ = 6; Където C ₁ = 6 и f '(x) = (x3 / 3) + 6

Тогава втората константа на интеграция

f (x) ='f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C2

Първоначалното условие f (0) = 3 е известно и продължава:

[(0) 4/12] + 6 (0) + С2 = 3; Където C2 = 3

Така се получава конкретният примитив

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

Пример 3

Определете примитивните функции, дадени на дериватите и точка на графиката:

dy / dx = 2x - 2 Какво става през точката (3, 2)

Важно е да се помни, че производните се отнасят до наклона на линията, допирателна към кривата в дадена точка. Където не е правилно да се предположи, че графиката на деривата докосва посочената точка, тъй като това принадлежи на графиката на примитивната функция.

По този начин ние изразяваме диференциалното уравнение по следния начин:

dy = ( 2x - 2) dx ; тогава, когато прилагаме критериите за антидеривация, имаме:

=dy = ∫ (2x - 2) dx

у = х2 - 2x + С

Прилагане на първоначалното условие:

2 = (3) 2 - 2 (3) + С

С = -1

Получавате: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Какво става през точката (0, 2)

Диференциалното уравнение се изразява по следния начин:

dy = ( 3x2 - 1) dx ; тогава, когато прилагаме критериите за антидеривация, имаме:

=dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

у = хз - х + с

Прилагане на първоначалното условие:

2 = (0) 2 - 2 (0) + С

C = 2

Получавате: f (x) = x3 - x + 2

Предложени упражнения

Упражнение 1

Намерете примитива f (x), която отговаря на първоначалните условия:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(х) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Упражнение 2

Балон, който се издига със скорост 16 фута / с, освобождава чувал с пясък от височина 64 фута над нивото на земята.

Определете полетното време
Какъв ще бъде векторът V _f, когато докосне пода?

Упражнение 3

На фигурата е показан графикът за ускорение-време на автомобил, движещ се в положителната посока на оста х. Колата е пътувала с постоянна скорост от 54 км / ч, когато водачът е спирал спирачките за 10 секунди. определяне на: