Бяла функция: от какво се състои, как се прави, примери и упражнения
Биективната функция е тази, която отговаря на двойното условие за инжектиране и сюръективност . Това означава, че всички елементи на домейна имат едно изображение в кодомена и на свой ред кодоменът е равен на обхвата на функцията ( Rf ).
Тя се изпълнява, когато се разглежда връзката "един към един" между елементите на домейна и кодомена. Един прост пример е функцията F: R → R, дефинирана от линията F (x) = x
Отбелязва се, че за всяка стойност на домейна или набора за заминаване (и двата термина се прилагат еднакво) имаме едно изображение в кодоменния или пристигащ набор. Освен това няма елемент от кодомена, който не е образ.
По този начин F: R → R, дефиниран от линията F (x) = x, е биективна
Как се прави биективна функция?
За да се отговори на това, е необходимо да се изясни понятията, свързани с инжектируемостта и субективността на дадена функция, както и критериите за функционалност на условието, за да бъдат адаптирани към изискванията.
Инжективна функция
Функцията е инжективна, когато всеки от елементите на неговата област е свързан с един елемент от кодомена. Елемент от кодомена може да бъде само образ на един елемент от домейна, по този начин стойностите на зависимата променлива не могат да бъдат повторени.
За да разгледа функция като инжектираща, трябва да се изпълни следното:
1 x 1 2 x 2 (F (x 1 ) (F (x 2 )
Свръх активност на дадена функция
Функцията се класифицира като сюръективна, ако всеки елемент от неговия кодомен е изображението на поне един елемент от домейна.
За да разгледате проект като облачен, трябва да се изпълни следното:
Нека F: D f → C f
℮ b f C f E a ℮ D f / F (a) = b
Това е алгебричният начин да се установи, че за всяко "b", което принадлежи на C f, съществува "а", което принадлежи на D f, така че функцията, оценена в "а", е равна на "b".
Кондициониране на функциите
Понякога функция, която не е биективна, може да бъде подчинена на определени условия. Тези нови условия могат да го превърнат в биективна функция. Всички видове модификации на домейна и кодомена на функцията са валидни, когато целта е да се спазят свойствата на инжекционната и свръх активност в съответната връзка.
Примери: решени упражнения
Упражнение 1
Нека функцията F: R → R се дефинира от линията F (x) = 5x +1
A: [Всички реални числа]
Наблюдава се, че за всяка стойност на домейна има изображение в кодомена. Това изображение е уникално, което прави F инжекционна функция . По същия начин наблюдаваме, че кодоменът на функцията е равен на неговия ранг. По този начин се изпълнява условието за свръх активност.
Чрез инжектиране и сюръективност в същото време можем да заключим това
F: R → R, дефиниран от линията F (x) = 5x +1, е биективна функция.
Това се отнася за всички линейни функции (функции, чиято най-висока степен на променливата е една).
Упражнение 2
Нека функцията F: R → R се дефинира с F (x) = 3x2 - 2
Когато рисувате хоризонтална линия, се наблюдава, че графиката се среща повече от един път. Поради това, функцията F не е инжектираща и следователно няма да бъде биективна, докато е дефинирана в R → R
По същия начин има стойности на кодомена, които не са изображения на който и да е елемент на домейна. Поради това, функцията не е сюръективна, което заслужава също така и условието за пристигане.
Продължаваме да определяме домейна и кодомена на функцията
F: [0, ∞] → [- 2, ∞ ]
Когато се наблюдава, че новата област обхваща стойностите от нула до положителна безкрайност. Избягване на повторение на ценности, които влияят върху инжекционната способност.
Така че и кодоменът е бил модифициран, преброявайки от "-2" до положителната безкрайност, премахвайки от кодомена стойностите, които не съответстват на нито един елемент от домейна
По този начин може да се гарантира, че F : [0, ∞] → [- 2, ∞ ], дефинирано от F (x) = 3x2 - 2
Тя е биективна
Упражнение 3
Нека функцията F е: R → R, дефинирана от F (x) = Sen (x)
В интервала [- +, + ∞ ] функцията на синуса променя резултатите си между нула и едно.
Функцията F не отговаря на критериите за инжектиране и собреективидад, тъй като стойностите на зависимата променлива се повтарят всеки интервал от π. Освен това, термините на кодомена извън интервала [-1, 1] не са изображения на който и да е елемент на домейна.
При изследване на графиката на функцията F (x) = Sen (x) се наблюдават интервали, в които поведението на кривата отговаря на критериите за биективност . Например, интервалът D f = [ π / 2 , 3π / 2 ] за домейна. И C f = [-1, 1] за кодомена.
Когато функцията варира от 1 до -1, без да се повтаря никаква стойност в зависимата променлива. И в същото време кодоменът е равен на стойностите, приети от израза Sen (x)
По този начин функцията F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1] дефинирано от F (x) = Sen (x). Тя е биективна
Упражнение 4
Поставят се необходимите условия за D f и C f . Така че изразът
F (x) = -x2 е биективен.
Повтарянето на резултатите се наблюдава, когато променливата има обратни стойности:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Домейнът е обусловен, ограничавайки го до дясната страна на реалната линия.
D f = [0, + ∞ ]
По същия начин се наблюдава, че обхватът на тази функция е интервалът [- 0, 0], който, действайки като кодомен, изпълнява условията на свръх активност.
По този начин можем да заключим това
Изразът F: [0, + ∞ ] → [- ∞ , 0], дефиниран от F (x) = -x2, е биективен
Предложени упражнения
Проверете дали следните функции са биективни:
F: [0, ∞) → R, дефинирано от F (x) = 3 (x + 1) 2 + 2
F: [ 3π / 2 , 5π / 2 ] → R, дефинирано от F (x) = 5ctg (x)
F: [- π , π ] → R, дефинирано от F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R, дефиниран от линията F (x) = -5x + 4
