Паралелепипед: характеристики, видове, площ, обем

Паралелепипед е геометрично тяло, образувано от шест лица, чиято основна характеристика е, че всичките им лица са успоредни, а противоположните им лица са успоредни една на друга. Той е общ полиедър в нашето ежедневие, тъй като можем да го намерим в кутии за обувки, формата на тухла, формата на микровълнова печка и др.

Като полиедър, паралелепипедът обхваща ограничен обем и всичките му лица са плоски. Тя е част от групата на призмите, които са тези полиедри, в които всичките им върхове се съдържат в две паралелни равнини.

Елементи на паралелепипеда

Караш

Те са всяка от областите, образувани от паралелограми, които ограничават паралелепипеда. Паралелепипедът има шест лица, където всяко лице има четири съседни лица и едно противоположно. Освен това, всяко лице е паралелно с противоположното.

Aristas

Те са общата страна на две лица. Общо паралелепипед има дванадесет ръба.

връх

Това е общата точка на три лица, които са съседни един на друг два към две. Паралелепипед има осем върха.

диагонал

Давайки две противоположни страни на паралелепипед, можем да начертаем линеен сегмент, който преминава от върха на едно лице към противоположния връх на другия.

Този сегмент е известен като диагонал на паралелепипеда. Всеки паралелепипед има четири диагонали.

център

Това е точката, в която се пресичат всички диагонали.

Характеристики на паралелепипеда

Както споменахме, това геометрично тяло има дванадесет ръба, шест лица и осем върха.

В паралелепипед можете да идентифицирате три комплекта, образувани от четири ръба, които са успоредни една на друга. В допълнение, ръбовете на тези комплекти изпълняват също и свойствата на същата дължина.

Друго свойство, което притежават паралелепипедите, е, че те са изпъкнали, т.е. ако вземем всяка двойка точки, принадлежащи към вътрешността на паралелепипеда, сегментът, определен от споменатата двойка точки, също ще бъде вътре в паралелепипеда.

В допълнение, паралелепипедите, които са изпъкнали полиедри, отговарят на теоремата на Ейлер за полиедрата, което ни дава връзка между броя на лицата, броя на ръбовете и броя на върховете. Тази връзка е дадена под формата на следното уравнение:

C + V = A + 2

Тази характеристика е известна като характеристика на Ойлер.

Където C е броят на лицата, V броят на върховете и А броят на ръбовете.

тип

Можем да класифицираме паралелепипеди въз основа на техните лица, в следните типове:

кубовиден

Те са паралелепипедите, където лицата им са оформени от шест правоъгълника. Всеки правоъгълник е перпендикулярна на тези, които споделят ръба. Те са най-често срещаните в ежедневието ни, като това е обичайният начин за кутии за обувки и тухли.

Cube или правилен хексаедър

Това е частен случай на предходната, където всяка от лицата е квадратна.

Кубът също е част от геометричните тела, наречени платонични твърди тела. Платоновото твърдо вещество е изпъкнал полиедър, така че и двете му лица и вътрешните ъгълчета са еднакви.

romboedro

Това е паралелепипед с диаманти на лицето си. Всички тези диаманти са еднакви, тъй като споделят ръбове.

Romboiedro

Шестте й лица са ромбоиди. Припомнете си, че ромбоидът е многоъгълник с четири страни и четири ъгъла, които са равни на две към две. Ромбоидите са паралелограми, които не са нито квадратни, нито правоъгълници, нито ромбове.

От друга страна, наклонените паралелепипеди са тези, при които поне една височина не е съгласувана с нейния ръб. В тази класификация можем да включим ромбоедрите и ромбоедрите.

Диагонално изчисление

За изчисляване на диагонал на ортоедър можем да използваме Питагоровата теорема за R3.

Припомнете си, че един ортоедър има характеристиката, че всяка страна е перпендикулярна на страните, които споделят ръба. От този факт можем да заключим, че всеки ръб е перпендикулярно на тези, които споделят върха.

За да изчислим дължината на диагонал на ортоедър, следваме следното:

1. Изчисляваме диагонала на една от лицата, на която ще основаваме. За това използваме Питагоровата теорема. Назовете този диагонал d _b .

2. Тогава с d _b можем да формираме нов правоъгълен триъгълник, такъв, че хипотенузата на този триъгълник е диагоналната D, която се търси.

3. Използваме отново Питагоровата теорема и имаме, че дължината на диагонала е:

Друг начин за изчисляване на диагонали по по-графичен начин е сумата от свободните вектори.

Припомнете си, че два свободни вектора А и В се добавят чрез поставяне на опашката на вектор В с връх на вектор А. \ t

Векторът (A + B) е този, който започва от опашката на A и завършва на върха на B.

Помислете за паралелепипед, към който искаме да изчислим диагонал.

Ние идентифицираме ръбовете с удобно ориентирани вектори.

След това добавяме тези вектори и полученият вектор ще бъде диагоналът на паралелепипеда.

област

Площта на паралелепипеда се дава от сумата на всяка от областите на лицата им.

Ако определим една от страните като база,

A _L + 2A _B = Обща площ

Когато A _L е равна на сумата от площите на всички страни, съседни на основата, наречена странична област, а A _B е площта на основата.

В зависимост от вида на паралелепипеда, с който работим, можем да пренапишем формулата.

Площ на ортоедър

Тя се дава с формулата

А = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Като се има предвид следния ортоедър, със страни a = 6 cm, b = 8 cm и c = 10 cm, изчислете площта на паралелепипеда и дължината на диагонала.

Използвайки формулата за площта на ортоедър, трябва

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm2.

Забележете, че тъй като е ортоедър, дължината на всеки от четирите му диагонали е една и съща.

Използваме Питагоровата теорема за пространството, което трябва

D = (62 + 82 + 102) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Площ на куб

Тъй като всеки ръб има една и съща дължина, имаме a = bya = c. Заместваме в предишната формула, която имаме

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a2) = 6a2

А = 6а2

Пример 2

Кутията на конзолата за игра има формата на куб. Ако искаме да обгърнем тази кутия с хартия за подаръци, колко хартия ще прекараме, знаейки, че дължината на ръбовете на куба е 45 cm?

Използвайки формулата на кубичната област, получаваме това

А = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm2) = 12150 cm2

Площ на ромбодър

Тъй като всичките им лица са еднакви, достатъчно е да се изчисли площта на една от тях и да се умножи с шест.

Можем да изчислим площта на диаманта, използвайки нейните диагонали със следната формула

A _R = (Dd) / 2

Използвайки тази формула следва, че е общата площ на ромбоеда

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Пример 3

Лицата на следния ромбоедър са оформени от ромб, чиито диагонали са D = 7 cm и d = 4 cm. Вашата зона ще бъде

А = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm2.

Район на ромбичен

За да изчислим площта на едно ромбично, трябва да изчислим площта на ромбоидите, които я съставят. Тъй като паралелепипедите се съобразяват с това, че противоположните страни имат една и съща област, можем да свържем страните в три двойки.

По този начин ще имаме вашия район

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Където b _i са базите, свързани с страните и h _i относителната им височина, съответстваща на споменатите основи.

Пример 4

Помислете за следния паралелепипед,

когато страната А и страната А (противоположната му страна) имат като основа b = 10 и за височина h = 6. Маркираната площ ще има стойност на

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B и B 'имат b = 4 и h = 6, след това

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC и C 'имат b = 10 и h = 5, така че

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Накрая е зоната на ромбоеда

А = 120 + 48 + 100 = 268.

Обем на паралелепипед

Формулата, която ни дава обема на паралелепипед, е произведението на площта на една от нейните лица по височината, съответстваща на това лице.

V = A _C h _C

В зависимост от вида на паралелепипеда, споменатата формула може да бъде опростена.

Така че имаме например, че обемът на ортоедър ще бъде даден от

V = abc.

Където a, b и c представляват дължината на ръбовете на ортоедъра.

И в конкретния случай на куба е

V = a3

Пример 1

Има три различни модела за кутии с бисквитки и искате да знаете в кои от тези модели можете да съхранявате повече бисквитки, т.е. кои кутии имат по-голям обем.

Първият е куб, чийто ръб е с дължина a = 10 cm

Неговият обем ще бъде V = 1000 cm3

Вторият има ръбове b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Следователно обемът му е V = 765 cm3

Третият е е = 9 cm, f = 9 cm и g = 13 cm

А обемът му е V = 1053 cm3

Следователно, кутията с най-голям обем е третата.

Друг метод за получаване на обема на паралелепипед е да се прибегне до векторна алгебра. По-специално, тройният скаларен продукт.

Едно от геометричните интерпретации, които имат тройния скаларен продукт, е това на обема на паралелепипеда, чиито ръбове са три вектора, които споделят един и същ връх като отправна точка.

По този начин, ако имаме паралелепипед и искаме да знаем какъв е неговият обем, достатъчно е да го представим в координатна система в R3, като съпоставим един от нейните върхове с произхода.

Тогава ние представяме ръбовете, които съвпадат в началото с вектори, както е показано на фигурата.

И по този начин имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е даден чрез

V = | AxB ∙ C |

Или еквивалентно обемът е детерминанта на 3 × 3 матрицата, образувана от компонентите на крайните вектори.

Пример 2

Чрез представяне на следващия паралелепипед в R3 можем да видим, че векторите, които го определят, са следните

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) и w = (-0.25, -4, 4)

Използваме тройния скаларен продукт, който имаме

V = | (uxv) | w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0, 0, - 15)

(uxv) = w = (0, 0, - 15) ∙ (-0, 25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

От това заключаваме, че V = 60

Сега разгледайте следния паралелепипед в R3, чиито ръбове се определят от векторите

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Използването на определящи фактори ни дава това

Така че имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е 112.

И двете са еквивалентни начини за изчисляване на обема.

Перфектен паралелепипед

Той е известен като тухла на Ойлер (или блок на Ойлер) към ортоедър, който изпълнява свойството, че дължината на нейните ръбове и дължината на диагоналите на всяка от нейните лица са цели числа.

Въпреки че Ойлер не е първият учен, който изучава ортоедрите, които изпълняват това свойство, той намира интересни резултати за тях.

По-малката Ейлерова тухла е открита от Пол Халке и дължините на ръбовете му са a = 44, b = 117 и c = 240.

Отворен проблем в теорията на числата е следният

Има ли перфектни ортоедъри?

Понастоящем не може да се отговори на този въпрос, тъй като не е било възможно да се докаже, че тези органи не съществуват, но нито едно от тях не е намерено.

Досега е доказано, че съществуват перфектни паралелепипеди. Първата, която трябва да бъде открита, има дължината на нейните ръбове стойности 103, 106 и 271.

библиография

1. Guy, R. (1981). Нерешени проблеми в теорията на числата. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Геометрия. Прогрес.
3. Leithold, L. (1992). ИЗЧИСЛЯВАНЕ с аналитична геометрия. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Технически чертеж: Книга с дейности 3 Втори бакалавър. Тебар.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Физика: 1. Мексико: континентален.