Векторна алгебра: Основи, величини, вектори

Векторна алгебра е клон на математиката, отговорен за изучаване на системи от линейни уравнения, вектори, матрици, векторни пространства и техните линейни трансформации. Той е свързан с области като инженеринг, разрешаване на диференциални уравнения, функционален анализ, оперативни изследвания, компютърна графика, наред с други.

Друга област, която е възприела линейната алгебра, е физиката, защото чрез нея е разработена за изучаване на физическите явления, описвайки ги чрез използването на вектори. Това направи възможно по-добро разбиране на Вселената.

фондации

Векторната алгебра произхожда от изучаването на кватернионите (разширение на реални числа) 1, i, j и k, както и декартовата геометрия, промотирана от Гибс и Хевисайд, които са осъзнали, че векторите ще служат като инструмент за представляват различни физични явления.

Векторна алгебра се изучава чрез три основи:

геометрично

Векторите са представени от линии, които имат ориентация, а операции като събиране, изваждане и умножение с реални числа се определят чрез геометрични методи.

аналитично

Описанието на векторите и техните операции се извършва с числа, наречени компоненти. Този тип описание е резултат от геометрично представяне, защото се използва координатна система.

аксиоматично

Направено е описание на векторите, независимо от координатната система или всеки вид геометрично представяне.

Изследването на фигурите в пространството се извършва чрез тяхното представяне в референтна система, която може да бъде в едно или повече измерения. Сред основните системи са:

- Едномерна система, която е линия, където една точка (O) представлява произхода, а друга точка (P) определя мащаба (дължина) и посоката му:

- правоъгълна координатна система (двуизмерна), която се състои от две перпендикулярни линии, наречени x-ос и у-ос, които преминават през точков (O) произход; по този начин равнината се разделя на четири области, наречени квадранти. В този случай точка (P) в равнината се дава от разстоянията, които съществуват между осите и P.

- Полярна координатна система (двуизмерна). В този случай системата е съставена от точка O (произход), която се нарича полюс и лъч с произход O, наречен полярна ос. В този случай точката Р на равнината, по отношение на полюса и полярната ос, се дава от ъгъла (Ɵ), който се формира от разстоянието между началото и точката П.

- Правоъгълна триизмерна система, образувана от три перпендикулярни линии (x, y, z), които имат като начало точка O в пространството. Образуват се три координатни равнини: xy, xz и yz; пространството ще бъде разделено на осем региона, наречени октанти. Позоваването на точка P на пространството е дадено от разстоянията, които съществуват между равнините и P.

величини

Величината е физическа величина, която може да бъде отчетена или измерена чрез цифрова стойност, както при някои физични явления; въпреки това, често е необходимо да се описват тези явления с други фактори, които не са цифрови. Ето защо магнитудите се класифицират в два типа:

Скаларна величина

Това са онези величини, които са дефинирани и представени числено; т.е. чрез модул заедно с единица за измерване. Например:

а) Време: 5 секунди.

б) Маса: 10 kg.

в) Обем: 40 ml.

d) Температура: 40 ° С.

Векторна величина

Това са онези величини, които са дефинирани и представени от модул заедно с единица, както и от смисъл и посока. Например:

a) Скорост: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

б) ускорение: 13 m / s2; S 45º E.

в) Сила: 280 N, 120º.

d) Тегло: -40-kg-f.

Векторните величини са представени графично от вектори.

Какви са векторите?

Векторите са графични изображения на векторна величина; тоест, те са сегменти на права линия, в която крайният им край е върхът на стрела.

Те се определят от дължината на неговия модул или сегмент, чието значение се обозначава с върха на стрелката и посоката й според линията, към която принадлежи. Произходът на вектор е известен също като точка на приложение.

Елементите на вектор са следните:

модул

Това е разстоянието от началото до края на вектор, представено от реално число заедно с единица. Например:

| OM | = | = А = 6 cm

адрес

Това е мярката на ъгъла между оста х (от положителната) и вектора, както и кардиналните точки (север, юг, изток и запад).

смисъл

Тя се дава от стрелката, разположена в края на вектора, указваща къде се намира.

Класификация на вектори

Обикновено векторите се класифицират като:

Фиксиран вектор

Това е тази, чиято точка на приложение (произход) е фиксирана; тоест, че остава свързан с точка от пространството, причината, поради която не може да бъде изместена в това.

Свободен вектор

Той може да се движи свободно в пространството, защото неговият произход се движи до всяка точка, без да променя модула, смисъл или посока.

Плъзгащ вектор

Тя е тази, която може да движи своя произход по своята линия на действие, без да променя своя модул, посока или посока.

Вектори имоти

Сред основните свойства на векторите са следните:

Еквиполентни вектори

Те са тези свободни вектори, които имат един и същ модул, посока (или са успоредни) и усещат, че плъзгащ вектор или фиксиран вектор.

Еквивалентни вектори

Това се случва, когато два вектора имат една и съща посока (или са успоредни), същия смисъл, и въпреки че имат различни модули и точки на приложение, те предизвикват същите ефекти.

Равенство на векторите

Те имат един и същ модул, посока и смисъл, въпреки че техните изходни точки са различни, което позволява на паралелния вектор да се движи сам, без да го засяга.

Срещу вектори

Те са тези, които имат същия модул и посока, но смисълът им е противоположен.

Векторна единица

Той е този, в който модулът е равен на единицата (1). Това се получава чрез разделяне на вектора от неговия модул и се използва за определяне на посоката и смисъла на вектор, или в равнината или в пространството, като се използват базовите или обединени нормализирани вектори, които са:

Нулевият вектор

Това е този, чийто модул е равен на 0; точката им на произход и край съвпадат в една и съща точка.

Компоненти на вектор

Компонентите на един вектор са тези стойности на проекциите на вектора върху осите на референтната система; В зависимост от разлагането на вектора, който може да бъде в две или три измерения, ще бъдат получени съответно два или три компонента.

Компонентите на един вектор са реални числа, които могат да бъдат положителни, отрицателни или дори нулеви (0).

Така, ако имаме вектор Ā, произхождащ от правоъгълна координатна система в xy (двуизмерна) равнина, проекцията на оста х е andx, а проекцията на оста y е Āy. По този начин, векторът ще бъде изразен като сума от неговите съставни вектори.

Примери

Първи пример

Имаме вектор Ā, който започва от началото и са дадени координатите на неговите краища. Така, векторът Ā = (; _x ; A _y ) = (4; 5) cm.

Ако векторът at действа в началото на триизмерна триъгълна координатна система (в пространството) x, y, z, в друга точка (P), проекциите по неговите оси ще бъдат, x, andy и ;z; по този начин векторът ще бъде изразен като сумата от нейните три компонентни вектора.

Втори пример

Имаме вектор Ā, който започва от началото и са дадени координатите на неговите краища. Така, векторът Ā = (A _x ; A _y; A _z ) = (4; 6; -3) cm.

Векторите, които имат своите правоъгълни координати, могат да бъдат изразени чрез техните базови вектори. За тази цел само всяка координата трябва да се умножи по съответния единичен вектор по такъв начин, че за равнината и пространството да бъдат следните:

За равнината: Ā = A _x i + A _и j.

За пространството: Ā = A _x i + A _и j + A _z k.

Операции с вектори

Има много величини, които имат модул, смисъл и посока, като ускорение, скорост, изместване, сила, между другото.

Те се прилагат в различни области на науката и за да ги приложите е необходимо в някои случаи да се извършват операции като събиране, изваждане, умножение и разделяне на вектори и скалари.

Добавяне и изваждане на вектори

Добавянето и изваждането на вектори се счита за единична алгебрична операция, защото изваждането може да бъде записано като сума; например изваждането на вектори Ā и Ē може да се изрази като:

Ē - Ē = Ā + (-Ē)

Съществуват различни методи за събиране и изваждане на вектори: те могат да бъдат графични или аналитични.

Графични методи

Използва се, когато векторът има модул, смисъл и посока. За да направите това, се очертават линии, които формират фигура, която по-късно помага да се определи резултата. Сред най-известните се открояват следните:

Метод на паралелограма

За да се направи добавяне или изваждане на два вектора, една точка е избрана общо по координатната ос, която ще представлява точката на произход на векторите, запазвайки нейния модул, посока и посока.

Тогава линиите се изтеглят успоредно на векторите, за да образуват успоредник. Полученият вектор е диагоналът, който излиза от точката на произход на двата вектора до върха на успоредника:

Метод на триъгълника

При този метод векторите се поставят една след друга, поддържайки техните модули, посоки и посоки. Полученият вектор ще бъде обединението на произхода на първия вектор с края на втория вектор:

Аналитични методи

Можете да добавяте или изваждате два или повече вектора чрез геометричен или векторен метод:

Геометричен метод

Когато два вектора образуват триъгълник или успоредник, модулът и посоката на получения вектор могат да бъдат определени, като се използват законите на синуса и косинуса. По този начин модулът на получения вектор, прилагайки закона на косинуса и по триъгълния метод, е даден чрез:

В тази формула β е ъгълът, противоположен на страната R, и това е равно на 180º - Ɵ.

За разлика от метода на успоредника, полученият вектор модул е:

Посоката на получения вектор е дадена от ъгъла (α), който образува резултата с един от векторите.

Съгласно закона на синуса, добавянето или изваждането на векторите може да се извърши и чрез триъгълния или паралелограмния метод, като се знае, че във всеки триъгълник страните са пропорционални на гърдите на ъглите:

Вектор метод

Това може да стане по два начина: в зависимост от техните правоъгълни координати или техните основни вектори.

Това може да бъде направено чрез прехвърляне на векторите, които трябва да бъдат добавени или извадени от произхода на координатите, и след това всички проекции на всяка от осите за равнината (x, y) или пространството (x, и, z); накрая, неговите компоненти се добавят алгебрично. Така че за самолета е:

Модулът на получения вектор е:

Докато за пространството е:

Модулът на получения вектор е:

При изпълнение на векторни суми се прилагат няколко свойства, които са:

- Асоциативно свойство: полученият резултат не се променя при добавяне на два вектора първо и след това се добавя трети вектор.

- Коммутативно свойство: редът на векторите не променя резултата.

- векторно разпределително свойство: ако скаларът се умножи по сбора от два вектора, той е равен на умножението на скалара за всеки вектор.

- Скаларно разпределително свойство: ако вектор е умножен по сбора от два скалара, той е равен на умножението на вектора за всеки скалар.

Умножение на вектори

Умножението или произведението на векторите може да се направи като прибавяне или изваждане, но при това той губи физическия смисъл и почти никога не се намира в приложенията. Поради тази причина най-често използваните видове продукти са скаларният и векторният продукт.

Скаларен продукт

Той е известен също като точков продукт от два вектора. Когато модулите на два вектора се умножат по косинуса на малкия ъгъл, който се образува между тях, се получава скалар. За да поставите скаларен продукт между два вектора, между тях се поставя точка, която може да се дефинира като:

Стойността на ъгъла, който съществува между двата вектора, ще зависи от това дали те са успоредни или перпендикулярни; Така че трябва да:

- Ако векторите са успоредни и имат същия смисъл, косинус 0º = 1.

- Ако векторите са успоредни и имат противоположни сетива, косинус 180º = -1.

- Ако векторите са перпендикулярни, косинусът е 90º = 0.

Този ъгъл също може да се изчисли, като се знае, че:

Скаларният продукт има следните свойства:

- Коммутативно свойство: редът на векторите не променя скалара.

- Разпределително свойство: ако скаларът се умножи по сбора от два вектора, той е равен на умножението на скалара за всеки вектор.

Вектор продукт

Векторното умножение, или кръстосано произведение на два вектора A и B, ще доведе до нов вектор С и ще бъде изразен чрез кръстоска между векторите:

Новият вектор ще има свои собствени характеристики. По този начин:

- Посоката: този нов вектор ще бъде перпендикулярна на равнината, която се определя от оригиналните вектори.

- Смисълът: това се определя с правилото на дясната ръка, където вектор А се завърта към В чрез посочване на посоката на въртене с пръстите, а с палец се отбелязва смисъла на вектора.

- Модулът: се определя от умножението на модулите на векторите AxB, от синуса на най-малкия ъгъл, който съществува между тези вектори. Тя се изразява:

Стойността на ъгъла, който съществува между двата вектора, ще зависи от това дали те са успоредни или перпендикулярни. След това е възможно да се потвърди следното:

- Ако векторите са успоредни и имат същия смисъл, sin 0º = 0.

- Ако векторите са успоредни и имат противоположни сетива, синус 180º = 0.

- Ако векторите са перпендикулярни, синус 90º = 1.

Когато векторният продукт е изразен по отношение на неговите основни вектори, той трябва: