Теорема на Евклид: формули, демонстрация, приложение и упражнения

Теоремата на Евклид демонстрира свойствата на правоъгълен триъгълник, като начертава линия, която я разделя на два нови прави триъгълника, които са сходни помежду си и на свой ред са подобни на първоначалния триъгълник; тогава има връзка на пропорционалност.

Евклид е един от най-великите математици и геометри на древността, които правят няколко демонстрации на важни теореми. Един от основните е този, който носи неговото име, който има широко приложение.

Това е така, защото чрез тази теорема тя обяснява по прост начин геометричните отношения, съществуващи в десния триъгълник, където краката на това са свързани с техните проекции в хипотенузата.

Формули и демонстрация

Теоремата на Евклид предлага, че във всеки правоъгълен триъгълник, когато се начертава линия, която представлява височината, съответстваща на върха на десния ъгъл по отношение на хипотенузата, се образуват два правилни триъгълника от оригинала.

Тези триъгълници ще бъдат подобни един на друг и също ще бъдат подобни на оригиналния триъгълник, което означава, че техните подобни страни са пропорционални един на друг:

Ъглите на трите триъгълника са еднакви; което означава, че когато се върти на 180 градуса на своя връх, от другата страна съвпада един ъгъл. Това означава, че всички ще бъдат равни.

По този начин можете също да проверите подобието, което съществува между трите триъгълника, чрез равенството на техните ъгли. От сходството на триъгълниците Евклид установява пропорциите на тези от две теореми:

- Теорема за височината.

- Теорема на краката.

Тази теорема има широко приложение. В древността той е бил използван за изчисляване на височини или разстояния, което представлява голям напредък за тригонометрията.

Понастоящем тя се прилага в няколко области, базирани на математика, като инженерство, физика, химия и астрономия, както и много други области.

Теорема за височината

Тази теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник височината от правия ъгъл по отношение на хипотенузата е геометричната пропорционална средна стойност (квадрата на височината) между проекциите на краката, която определя хипотенузата.

Това означава, че квадратът на височината ще бъде равен на умножението на проектираните крака, които образуват хипотенузата:

h _c 2 = m _* n

шоу

Като се има предвид триъгълник ABC, който е правоъгълник на върха C, когато се начертава височината, се генерират два подобни правоъгълни триъгълника, ADC и BCD; следователно съответните им страни са пропорционални:

Така че височината h _c, която съответства на сегмента CD, съответства на хипотенузата AB = c, така че трябва да:

На свой ред това съответства на:

Изчиствайки хипотенузата (h _c ), за да умножим двата члена на равенството, трябва да:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c 2 = m _* n

По този начин стойността на хипотенузата се дава чрез:

Теорема на краката

Тази теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник мярката на всеки крак ще бъде геометричната пропорционална средна стойност (квадрата на всеки крак) между измерването на хипотенузата (пълна) и проекцията на всяка от тях:

b2 = c _* m

a2 = c _* n

шоу

Като се има предвид триъгълник ABC, който е правоъгълник на върха C, така че неговата хипотенуза е c, при начертаване на височината (h), се определят проекциите на краката a и b, които са сегментите m и n съответно. хипотенузата.

По този начин, височината, начертана на десния триъгълник ABC, генерира два подобни правилни триъгълника, ADC и BCD, така че съответните страни са пропорционални, като това:

DB = n, което е проекцията на CB крака върху хипотенузата.

AD = m, което е проекция на катетус АС върху хипотенузата.

Тогава хипотенузата c се определя от сумата на краката на неговите проекции:

c = m + n

Поради сходството на триъгълниците ADC и BCD, ние трябва да:

Горното е същото като:

Като изчисти крака "а", за да умножим двата члена на равенството, човек трябва да:

a _* a = c _* n

a2 = c _* n

По този начин стойността на крака "а" се дава чрез:

По подобен начин, по подобие на триъгълниците ACB и ADC, трябва да:

Горното е равно на:

Като изчисти крака "б", за да умножи двата члена на равенството, човек трябва да:

b _* b = c _* m

b2 = c _* m

По този начин стойността на крака "б" се дава чрез:

Връзка между теоремите на Евклид

Теоремите, отнасящи се до височината и краката, са свързани един с друг, защото измерването на двете е направено по отношение на хипотенузата на правилния триъгълник.

Чрез съотношението на теоремите на Евклид може да се намери и стойността на височината; това е възможно чрез изчистване на стойностите на m и n от теоремата за крака и замяна на тях в теоремата за височината. По този начин височината е равна на умножението на краката, разделено на хипотенузата:

b2 = c _* m

m = b2 ÷ c

a2 = c _* n

n = a2. c

В теоремата за височината myn се заменя:

h _c 2 = m _* n

h _c 2 = (b2) c) _* (a2) c)

h _c = (b2 _* a2). c

Решени упражнения

Пример 1

Като се има предвид триъгълник ABC, правоъгълник в A, определят мярката на AC и AD, ако AB = 30 cm и BD = 18 cm

разтвор

В този случай имаме измервания на един от изпъкналите крака (BD) и на един от краката на първоначалния триъгълник (AB). По този начин може да се приложи теоремата за краката, за да се намери стойността на крака на КП.

AB2 = BD _* BC

(30) 2 = 18 _* пр. Хр

900 = 18 _* пр. Хр

BC = 900. 18

BC = 50 cm

Стойността на CD cathetus може да бъде намерена, като се знае, че BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Сега е възможно да се определи стойността на катетуса AC, като се приложи отново теоремата за крака:

AC2 = CD _* BD

AC2 = 32 _* 50

AC2 = 160

AC = √1600 = 40 cm

За да се определи стойността на височината (AD), се прилага височинна теорема, тъй като стойностите на проектираните крака CD и BD са известни:

AD2 = 32 _* 18

AD2 = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

Пример 2

Определете стойността на височината (h) на триъгълник MNL, правоъгълник в N, като знаете измерванията на сегментите:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

РМ = 2 cm

разтвор

Имате измерване на един от краката, проектирани върху хипотенузата (PM), както и измерванията на краката на първоначалния триъгълник. По този начин може да се приложи теоремата за краката, за да се намери стойността на другия прожектиран крак (LN):

NL2 = PM _* LM

(10) 2 = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 = 5 = 20

Тъй като вече знаем стойността на краката и хипотенузата, чрез отношението на теоремите за височината и краката, може да се определи стойността на височината:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2 _* a2). c.

h = (102 _* 52) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 х 20

h = 125 cm.