Homothety: Свойства, типове и примери

Хомотетията е геометрична промяна в равнината, където от фиксирана точка, наречена център (O), разстоянията се умножават по общ фактор. По този начин всяка точка P съответства на друга точка P 'произведение на трансформацията и те са подравнени с точката O.

Тогава, хомотетията е съответствието между две геометрични фигури, където трансформираните точки се наричат ​​хомотетични, и те са подравнени с фиксирана точка и с сегменти успоредни една на друга.

homotecia

Хомотетията е трансформация, която няма конгруентен образ, защото от фигура ще бъде получена една или повече фигури с по-голям или по-малък размер от първоначалната фигура; тоест, че хомотетията превръща полигона в друг подобен.

За да се изпълни хомотетията, те трябва да отговарят на точка до точка и направо на права, така че двойките хомоложни точки да са подравнени с трета неподвижна точка, която е център на хомотетията.

По същия начин, двойките линии, които ги свързват, трябва да са успоредни. Връзката между такива сегменти е константа, наречена съотношение на хомотетия (k); по такъв начин, че хомотетията да може да бъде определена като:

За да направим този вид трансформация, започваме с избор на произволна точка, която ще бъде център на хомотетията.

От тази точка се изтеглят сегментите на линиите за всеки връх на фигурата, която трябва да се трансформира. Скалата, на която се прави възпроизвеждането на новата фигура, се дава от съотношението на хомотетията (k).

свойства

Едно от основните свойства на хомотетията е, че поради хомотетията (k), всички хомотетични фигури са сходни. Сред другите изключителни свойства са следните:

- Центърът на хомотетията (О) е единствената двойна точка и това става само; това означава, че не се променя.

- Линиите, които минават през центъра, се трансформират (те са двойни), но точките, които го съставят, не са двойни.

- линиите, които не преминават през центъра, се трансформират в паралелни линии; по този начин ъглите на хомотетията остават същите.

- Изображението на сегмент от хомотетия от център O и съотношение k е сегмент, успореден на него и има k пъти неговата дължина. Например, както се вижда на следното изображение, сегмент AB по хомотетичен ще доведе до друг сегмент A'B ', така че AB ще бъде паралелен на A'B' и k ще бъде:

- Хомотетичните ъгли са еднакви; те имат една и съща мярка. Следователно, изображението на ъгъл е ъгъл, който има същата амплитуда.

От друга страна, хомотетията варира в зависимост от стойността на неговото съотношение (k) и могат да възникнат следните случаи:

- Ако константата k = 1, всички точки са фиксирани, защото се преобразуват. По този начин, хомотетичната фигура съвпада с оригинала и трансформацията ще се нарича идентифицираща функция.

- Ако k, 1, единствената неподвижна точка ще бъде център на хомотетията (O).

- Ако k = -1, хомотетията става централна симетрия (C); това означава, че въртенето около С ще се осъществи под ъгъл от 180 °.

- Ако k> 1, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-голям от размера на оригинала.

- Ако 0 <k <1, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-малък от този на оригинала.

- Ако -1 <k <0, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-малък и ще бъде завъртян спрямо оригинала.

- Ако k <-1, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-голям и завъртян спрямо оригинала.

тип

Хомотетията може също да бъде класифицирана в два типа, в зависимост от стойността на неговото съотношение (k):

Директна хомотетия

Това се случва, ако константата k> 0; хомотетичните точки са от една и съща страна по отношение на центъра:

Факторът на пропорционалност или съотношението на сходството между преките хомотетични фигури винаги ще бъде положителен.

Обратно хомотетично

Това се случва, ако константата k <0; това означава, че началните точки и техните хомотетични са разположени в противоположните краища по отношение на центъра на хомотетията, но са подредени в него. Центърът ще бъде между двете фигури:

Коефициентът на пропорционалност или съотношението на сходството между хомотетичните обратни цифри винаги ще бъде отрицателен.

композиция

Когато няколко движения се правят последователно, докато не се получи фигура, равна на оригинала, настъпва състав от движения. Съставът на няколко движения е също движение.

Съставът между две хомотеции води до нова хомотеция; имаме хомотетичен продукт, в който центърът ще бъде подравнен с центъра на двете оригинални трансформации, а съотношението (k) е продукт на двете причини.

Така, в състава на две хомотетии H 1 (O 1, k 1 ) и H 2 (O 2, k 2 ), умножаването на техните съотношения: k 1 x k 2 = 1 ще доведе до хомотетия на съотношение k 3 = k 1 x k 2 Центърът на тази нова хомотетия (О3) ще бъде разположен на линията О1О2.

Хомотетията съответства на плоска и необратима промяна; ако се прилагат две хомотеции, които имат един и същ център и съотношение, но с различен знак, ще се получи първоначалната цифра.

Примери

Първи пример

Приложете хомотетия към дадения централен многоъгълник (O), разположен на 5 cm от точка А и чието съотношение е k = 0.7.

разтвор

Всяка точка е избрана като център на хомотетията, и от този лъч са изтеглени от върховете на фигурата:

Разстоянието от центъра (O) до точка A е OA = 5; с това можете да определите разстоянието на една от хомотетичните точки (ОА), като знаете също, че k = 0.7:

OA '= kx OA.

OA '= 0.7 х 5 = 3.5.

Процесът може да бъде направен за всеки връх, или можете също да извлечете хомотетичния многоъгълник, като помните, че двата полигона имат паралелни страни:

Накрая, трансформацията изглежда така:

Втори пример

Приложете хомотетия към дадения централен многоъгълник (O), разположен на 8, 5 см от точка С и чието у коефициент k = -2.

разтвор

Разстоянието от центъра (O) до точка C е OC = 8.5; с тези данни е възможно да се определи разстоянието на една от хомотетичните точки (OC '), като се знае също, че k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

След изчертаване на сегментите на върховете на трансформирания многоъгълник, първоначалните точки и техните хомотетици са разположени в противоположните краища спрямо центъра: