Адитивна декомпозиция: приложения, дялове, графики

Адитивното разлагане на положително цяло число е да се изрази като сума от две или повече положителни числа. Следователно, числото 5 може да бъде изразено като 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 или 5 = 1 + 2 + 2. Всеки един от тези начини за писане на номер 5 е това, което ще наречем адитивна декомпозиция.

Ако обърнем внимание, можем да видим, че изразите 5 = 2 + 3 и 5 = 3 + 2 представляват една и съща композиция; и двете имат еднакви числа. Обаче, само за удобство, всеки от добавките обикновено се пише по критерия от най-малко до най-голямо.

Адитивно разлагане

Като друг пример можем да вземем числото 27, което можем да изразим като:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Адитивната декомпозиция е много полезен инструмент, който ни позволява да затвърдим знанията си за системите за номериране.

Адитивна канонична декомпозиция

Когато имаме числа от повече от две фигури, специфичен начин за тяхното разграждане е в кратни на 10, 100, 1000, 10 000 и т.н., които го съставят. Този начин на писане на произволен брой се нарича канонична адитивна декомпозиция. Например номер 1456 може да бъде разбит както следва:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Ако имаме номер 20 846 295, неговата канонична адитивна декомпозиция ще бъде:

20 846 295 = 20, 000, 000 + 800, 000 + 40, 000 + 6, 000 + 200 + 90 +5.

Благодарение на това разлагане можем да видим, че стойността на дадена цифра се дава от позицията, която заема. Вземете числата 24 и 42 като пример:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Тук можем да забележим, че в 24 2 стойността е 20 единици и 4 стойността на 4 единици; от друга страна, в 42 от тях 4 има стойност от 40 единици и 2 от две единици. Така, въпреки че и двата номера използват еднакви цифри, техните стойности са напълно различни от позицията, която заемат.

приложения

Едно от приложенията, които можем да дадем на адитивната декомпозиция, е в определен вид демонстрации, в които е много полезно да се види положително цяло число като сума от други.

Примерна теорема

Да вземем за пример следната теорема с нейните съответни демонстрации.

- Нека Z да е 4-цифрено цяло число, тогава Z да се дели на 5, ако броят им съответства на единиците е нула или пет.

шоу

Помни какво е делимост. Ако имаме "a" и "b" числа, ние казваме, че "a" разделя "b", ако има цяло число "c" такова, че b = a * c.

Едно от свойствата на делимостта ни казва, че ако "a" и "b" са делими на "c", тогава изваждането "ab" също се дели на "c".

Нека Z е 4-цифрено цяло число; следователно можем да напишем Z като Z = ABCD.

Използвайки каноничната адитивна декомпозиция имаме, че:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Ясно е, че A * 1000 + B * 100 + C * 10 се дели на 5. За това имаме, че Z е неделимо с 5, ако Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) се дели на 5.

Но Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D и D е число на една фигура, така че единственият начин, по който той се дели на 5, е, че е 0 или 5.

Следователно, Z е кратно на 5, ако D = 0 или D = 5.

Забележете, че ако Z има n цифри, доказателството е точно същото, то само се променя, че сега ще напишем Z = A ₁ A ₂ ... A _n и целта е да се докаже, че A _n е нула или пет.

прегради

Ние казваме, че разделянето на положително цяло число е начин, по който можем да напишем число като сума от положителни числа.

Разликата между адитивна декомпозиция и деление е, че докато в първото се търси, че може поне да се разложи на две или повече добавки, в раздела няма такова ограничение.

Така че имаме следното:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Горните са дялове от 5.

Това означава, че всички добавъчни декомпозиции са дял, но не всеки дял е задължително адитивна декомпозиция.

В теорията на числата основната теорема за аритметиката гарантира, че всяко цяло число може да бъде записано еднозначно като продукт на прости числа.

Когато изучавате дялове, целта е да се определи колко начини можете да напишете положително цяло число като сума от други цели числа. Затова дефинираме функцията на разпределението, както е представено по-долу.

дефиниция

Функцията за разделяне p (n) се дефинира като броя на начините, в които едно положително цяло n може да бъде записано като сума от положителни числа.

Ако се върнем към примера на 5, трябва да:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

По този начин p (5) = 7.

графичен

И двата раздела и адитивните разпадания на число n могат да бъдат представени геометрично. Да предположим, че имаме адитивно разлагане на n. В това разлагане добавките могат да бъдат подредени така, че членовете на сумата да са подредени от най-ниската до най-високата. Тогава си струва:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + ... + a _r с

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ ... ≤ a _r .

Такова разлагане можем да начертаем по следния начин: в първия ред маркираме _1- точки, след това в следващата маркираме _2- точки, и така нататък, докато достигнем aa _r .

Вземете числото 23 и следващото му разлагане като пример:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Поръчваме това разлагане и имаме:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Съответният му график ще бъде:

По същия начин, ако четем графиката вертикално вместо хоризонтално, можем да получим разлагане, което може да е различно от предишното. В примера на 23 се подчертава следното: