Исторически контекст на аналитичната геометрия

Историческият фон на аналитичната геометрия датира от седемнадесети век, когато Пиер дьо Ферма и Рене Декарт определят своята основна идея. Неговото изобретение следва модернизацията на алгебрата и алгебричната нотация на Франсоа Вите.

Това поле има своите основи в Древна Гърция, особено в творбите на Аполоний и Евклид, които имат голямо влияние в тази област на математиката.

Основната идея зад аналитичната геометрия е, че връзката между две променливи, така че една е функция на другата, определя крива.

Тази идея за първи път е разработена от Пиер дьо Ферма. Благодарение на тази съществена рамка Исак Нютон и Готфрид Лайбниц успяха да разработят изчисленията.

Френският философ Декарт също откри алгебричен подход към геометрията, очевидно сам. Работата на Декарт върху геометрията се появява в известната му книга Дискурс за метода .

В тази книга е посочено, че компасът и геометричните конструкции на правите ръбове включват събиране, изваждане, умножение и квадратни корени.

Аналитичната геометрия представлява обединението на две важни традиции в математиката: геометрията като изследване на формата и аритметиката и алгебрата, които имат отношение към количеството или числата. Следователно аналитичната геометрия е изследване на областта на геометрията с помощта на координатни системи.

история

История на аналитичната геометрия

Връзката между геометрията и алгебрата се е развила през цялата история на математиката, въпреки че геометрията е достигнала степен на зрялост по-рано.

Например, гръцкият математик Евклид е успял да организира много резултати в своята класическа книга "Елементите" .

Но именно древният грък Аполон от Перга предсказал развитието на аналитичната геометрия в своята книга Conics . Той определи конуса като пресечната точка между конус и равнина.

Използвайки резултатите от Евклид в подобни триъгълници и изсушаване на кръг, той намерил отношение, дадено от разстоянията от всяка точка "Р" на конична до две перпендикулярни линии, главната ос на коничната и допирателната към крайната точка на оста. Аполоний използва тази връзка, за да изведе основните свойства на коники.

Последващото развитие на координатните системи в математиката се появява едва след като алгебрата са узрели благодарение на ислямските и индийските математици.

Докато ренесансовата геометрия не е била използвана за оправдаване на решения за алгебрични проблеми, но не е много, че алгебрата може да допринесе за геометрията.

Тази ситуация би се променила с приемането на удобна нотация за алгебрични отношения и развитието на концепцията за математическа функция, която сега е била възможна.

XVI век

В края на XVI век френският математик Франсоа Вите въвежда първата систематична алгебрична нотация, използвайки букви за представяне на числови величини, както известни, така и неизвестни.

Той също така разработва мощни общи методи за работа на алгебрични изрази и решаване на алгебрични уравнения.

Благодарение на това математиците не бяха напълно зависими от геометрични фигури и геометрична интуиция за решаване на проблеми.

Дори някои математици започнаха да се отказват от стандартния геометричен начин на мислене, според който линейните променливи на дължини и квадрати съответстват на области, докато кубичният отговаря на обемите.

Първата стъпка бяха философът и математикът Рене Декарт и адвокатът и математикът Пиер дьо Ферма.

Основа на аналитичната геометрия

Декарт и Ферма самостоятелно основават аналитична геометрия през 1630-те години, възприемайки алгебрата на Viète за изследването на локуса.

Тези математици разбраха, че алгебрата е инструмент на голяма сила в геометрията и е изобретил това, което сега е известно като аналитична геометрия.

Аванс, който направиха, бе да преодолеят Viète, използвайки букви, за да представят разстояния, които са променливи, вместо фиксирани.

Декарт използва уравнения за изучаване на геометрично дефинирани криви и подчертава необходимостта от разглеждане на общите алгебрично-графични криви на полиномни уравнения в градусите "х" и "у".

От своя страна, Ферма подчерта, че всяка връзка между координатите "x" и "и" определя крива.

Използвайки тези идеи, той преструктурира твърденията на Аполоний за алгебрични термини и възстановява някои от изгубените му творби.

Fermat посочва, че всяко квадратично уравнение в "x" и "y" може да бъде поставено в стандартната форма на една от коничните секции. Въпреки това, Ферма никога не публикува работата си по темата.

Благодарение на неговия напредък, това, което Архимед можеше да реши само с голяма трудност и за изолирани случаи, Ферма и Декарт можеха да го решат бързо и за голям брой криви (сега известни като алгебрични криви).

Но неговите идеи са получили само общо приемане чрез усилията на други математици през втората половина на седемнадесети век.

Математиците Франс ван Шутен, Флоримон де Бон и Йохан де Вит помогнаха за разширяването на работата на Декартес и добавиха важни допълнителни материали.

влияние

В Англия Джон Уолис популяризира аналитичната геометрия. Той използва уравнения, за да дефинира коники и да извлече техните свойства. Въпреки че използваше отрицателни координати свободно, Исак Нютон използваше две коси оси, за да раздели равнината на четири квадранта.

Нютон и немският Готфрид Лайбниц революционизираха математиката в края на седемнадесети век, като самостоятелно демонстрираха силата на изчисленията.

Нютон демонстрира важността на аналитичните методи в геометрията и нейната роля в смятането, когато твърди, че всеки куб (или всяка алгебрична крива от трета степен) има три или четири стандартни уравнения за подходящи координатни оси. С помощта на самия Нютон, шотландският математик Джон Стърлинг го тествал през 1717 година.

Аналитична геометрия на три и повече размери

Въпреки че и Декарт, и Ферма предлагат използването на три координати за изучаване на криви и повърхности в пространството, триизмерната аналитична геометрия се развива бавно до 1730 година.

Математиците Ойлер, Херман и Клеаут произведоха общи уравнения за цилиндри, конуси и повърхности на революцията.

Например, Ойлер използва уравнения за преводи в пространството, за да трансформира общата квадратична повърхност, така че основните й оси съвпадат с координатните му оси.

Ойлер, Джоузеф-Луи Лагранж и Гаспард Монж направиха аналитична геометрия независимо от синтетичната (неаналитична) геометрия.