Биномна теорема: Демонстрация и примери

Биномиалната теорема е уравнение, което ни казва как да разработим израз на формата (a + b) n за някакво естествено число n. Един бином е не повече от сумата от два елемента, като (a + b). Той също така ни позволява да знаем за термин, даден от akbn-k какъв е коефициентът, който го придружава.

Тази теорема обикновено се приписва на английския изобретател, физик и математик сър Исак Нютон; Въпреки това, бяха открити няколко документа, показващи, че в Близкия изток съществуването му вече е известно, около 1000 година.

Комбинаторни числа

Биномиалната теорема ни казва математически следното:

В този израз a и b са реални числа, а n е естествено число.

Преди да дадем демонстрация, нека видим някои основни понятия, които са необходими.

Комбинаторното число или комбинации от n в k се изразява, както следва:

Тази форма изразява стойността на това колко подмножества с k елементи могат да бъдат избрани от набор от n елемента. Алгебричният му израз се дава от:

Да видим един пример: да предположим, че имаме група от седем топки, от които две са червени, а останалите са сини.

Искаме да знаем колко начини можем да поръчаме подред. Един от начините може да бъде поставянето на двете червени в първата и втората позиция, а останалите топки в останалите позиции.

Подобно на предишния случай, бихме могли да дадем на червените топки съответно първата и последната позиция и да заемем останалите със сини топки.

Сега, ефективен начин да преброите колко начини можем да поръчаме топки в един ред, е да използваме комбинаторните числа. Можем да видим всяка позиция като елемент от следния набор:

След това е необходимо само да изберете подмножество от два елемента, в които всеки един от тези елементи представлява позицията, която ще заемат червените топки. Можем да направим този избор според връзката, дадена от:

По този начин имаме 21 начина да сортирате такива топки.

Общата идея на този пример ще бъде много полезна при демонстрирането на биномната теорема. Нека разгледаме конкретен случай: ако n = 4, имаме (a + b) 4, което е не повече от:

Когато разработваме този продукт, имаме сумата от термините, получени чрез умножаване на елемент от всеки от четирите фактора (a + b). По този начин ще имаме термини, които ще са във формата:

Ако искаме да получим срока на формата а4, достатъчно е да се умножи по следния начин:

Имайте предвид, че има само един начин да се получи този елемент; Но какво се случва, ако сега потърсим термина на формата a2b2? Тъй като "а" и "б" са реални числа и следователно комутативният закон е валиден, трябва да получим начин да получим този термин, за да се умножим с членовете, както е показано от стрелките.

Извършването на всички тези операции обикновено е донякъде досадно, но ако видим термина "а" като комбинация, където искаме да знаем колко начини можем да изберем две "а" от набор от четири фактора, можем да използваме идеята на предишния пример. Така че имаме следното:

По този начин, ние знаем, че в крайното развитие на израза (a + b) 4 ще имаме точно 6a2b2. Използвайки същата идея за другите елементи, трябва да:

След това добавяме вече получените изрази и трябва да:

Това е официална демонстрация за общия случай, в който "n" е всяко естествено число.

шоу

Отбележете, че термините, които остават при развиването (a + b) n, са във вид akbn-k, където k = 0, 1, ..., n. Използвайки идеята на предишния пример, ние имаме начин да изберем «k» променливите «a» от «n» факторите е:

Избирайки по този начин, автоматично избираме nk променливи «b». От това следва, че:

Примери

Като се има предвид (a + b) 5, какво би било неговото развитие?

По биномната теорема трябва да:

Биномиалната теорема е много полезна, ако имаме израз, в който искаме да знаем кое е коефициентът на даден термин, без да е необходимо да изпълняваме пълното развитие. Като пример можем да вземем следното инкогнито: какъв е коефициентът на x7y9 в развитието на (x + y) 16?

От биномиалната теорема имаме, че коефициентът е:

Друг пример е: какъв е коефициентът x5y8 в развитието на (3x-7y) 13?

Първо пренаписваме израза по удобен начин; това е:

Тогава, използвайки биномната теорема, имаме, че исканият коефициент е, когато имаме k = 5

Друг пример за употребата на тази теорема е в демонстрирането на някои общи идентичности, като тези, споменати по-долу.

Идентичност 1

Ако „n“ е естествено число, трябва да:

За демонстрацията използваме биномиалната теорема, където и "а" и "б" имат стойност 1. Тогава имаме:

По този начин ние доказахме първата идентичност.

Идентичност 2

Ако "n" е естествено число, тогава

По биномната теорема трябва да:

Друга демонстрация

Можем да направим различно доказателство за биномната теорема, използвайки индуктивния метод и паскалната идентичност, което ни казва, че ако «n» и «k» са положителни числа, които отговарят на n ≥ k, тогава:

Демонстрация чрез индукция

Първо нека видим, че индуктивната база е изпълнена. Ако n = 1, трябва да:

Ефективно виждаме, че то е изпълнено. Сега нека n = j да е изпълнено:

Искаме да видим, че при n = j + 1 се изпълнява, че:

Затова трябва да:

По хипотеза знаем, че:

След това, използвайки дистрибутивното свойство:

Впоследствие, като разработваме всяко от обобщенията, имаме:

Сега, ако се групираме по удобен начин, трябва да:

Използвайки самоличността на pascal, трябва да:

И накрая, имайте предвид, че:

Затова виждаме, че биномиалната теорема е изпълнена за всеки "n", принадлежащ към естественото число, и с това тестът завършва.

Любопитно

Комбинаторното число (nk) също се нарича биномиален коефициент, защото именно коефициентът се появява в развитието на бинома (a + b) n.

Исак Нютон дава обобщение на тази теорема за случая, в който експонентите са реални числа; Тази теорема е известна като биномна теорема на Нютон.

Още в древността този резултат е известен за конкретния случай, в който n = 2. Този случай е споменат в Елементите на Евклид.