Теорема на Бейс: обяснение, приложения, упражнения

Теоремата на Байес е процедура, която ни позволява да изразим условната вероятност на случайно събитие А дадено В по отношение на вероятностното разпределение на дадено събитие В и разпределението на вероятността само на А. \ t

Тази теорема е много полезна, тъй като благодарение на нея можем да свържем вероятността, че се случва събитие А, знаейки, че Б се е случило, с вероятността да се случи обратното, т.е.

Теоремата на Байес е сребърно предложение от преподобния Томас Байес, английски теолог от осемнайсети век, който също е математик. Той е автор на няколко произведения в теологията, но в момента е известен с няколко математически трактата, сред които гореспоменатата теорема на Байес се откроява като основен резултат.

Байес се занимава с тази теорема в статия, озаглавена "Есе в посока на решаване на проблем в доктрината за шансовете", публикувана през 1763 г., и върху която са разработени големи творби за решаване на проблем в доктрината за възможностите. Проучвания с приложения в различни области на знанието.

обяснение

Първо, за по-нататъшно разбиране на тази теорема са необходими някои основни понятия от теория на вероятностите, особено теорията за умножение за условна вероятност, която заявява, че

За Е и А произволни събития от пробно пространство S.

И дефиницията на дяловете, която ни казва, че ако имаме A ₁, A ₂, ..., A _n събития от пробно пространство S, те ще образуват дял от S, ако A _i са взаимно изключващи се и техният съюз е S. \ t

Имайки това, нека Б да е друго събитие. Тогава можем да видим Б като

Където А _{и се} пресичат с В са взаимно изключващи се събития.

И следователно,

След това, прилагайки теоремата за умножение

От друга страна, условната вероятност на Ai дадена B се определя от

Подменяйки адекватно, трябва да сме за всяко i

Приложения на теоремата на Байес

Благодарение на този резултат, изследователски групи и различни корпорации успяха да подобрят системите, които се основават на знанието.

Например, при изследването на болестите, теоремата на Байес може да помогне да се разбере вероятността да се открие заболяване в група хора с дадена характеристика, като се вземат като данни глобалните стойности на заболяването и преобладаването на споменатите характеристики в както здрави, така и болни.

От друга страна, в света на високите технологии, е повлиял големи компании, които са разработили, благодарение на този резултат, софтуер "Въз основа на знанието".

Като ежедневен пример имаме помощник на Microsoft Office. Теоремата на Байес помага на софтуера да оцени проблемите, които потребителят представя и да определи какъв съвет да предостави и по този начин да може да предложи по-добра услуга според навиците на потребителя.

Трябва да се отбележи, че тази формула е пренебрегвана доскоро, главно поради факта, че когато този резултат е бил разработен преди 200 години, за тях нямаше практическа полза. Въпреки това, в наше време, благодарение на големия технологичен напредък, учените са постигнали начини да приложат този резултат на практика.

Решени упражнения

Упражнение 1

Клетъчната компания има две машини А и Б. 54% от произвежданите мобилни телефони се произвеждат от машина А, а останалата част от машината Б. Не всички произвеждани мобилни телефони са в добро състояние.

Делът на дефектните мобилни телефони, направени от А, е 0, 2, а от Б - 0, 5. Каква е вероятността мобилен телефон от споменатия завод да е дефектен? Каква е вероятността, знаейки, че мобилен телефон е дефектен, идват от машина А?

разтвор

Тук имате експеримент, който се прави на две части; в първата част на събитията се случват:

A: мобилен телефон, произведен от машина А.

B: мобилен телефон, произведен от машина Б.

Тъй като машината А произвежда 54% от мобилните телефони, а останалата част се произвежда от машина Б, машината Б произвежда 46% от мобилните телефони. Вероятностите за тези събития са дадени, а именно:

Р (А) = 0.54.

Р (В) = 0.46.

Събитията от втората част на експеримента са:

D: дефектен мобилен телефон

E: недефиниран мобилен телефон.

Както се казва в изявлението, вероятностите на тези събития зависят от резултата, получен в първата част:

P (D | A) = 0.2.

P (D | B) = 0, 5.

Използвайки тези стойности, можете също да определите вероятностите на допълненията на тези събития, а именно:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

и

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5.

Сега събитие D може да бъде записано както следва:

Използвайки теоремата за умножение за условна вероятност, тя получава:

С който се отговаря на първия въпрос.

Сега просто трябва да изчислим P (A | D), за който се прилага теоремата на Bayes:

Благодарение на теоремата на Байес, може да се каже, че вероятността мобилният телефон да е направен от машина А, знаейки, че телефонът е дефектен, е 0, 319.

Упражнение 2

Три кутии съдържат бели и черни топки. Съставът на всеки от тях е както следва: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Една от кутиите е избрана на случаен принцип и от нея се изважда случайна топка, която се оказва бяла. Коя кутия най-вероятно е избрана?

разтвор

Чрез U1, U2 и U3 ще представим и избраната кутия.

Тези събития представляват разделянето на S и се проверява, че P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, тъй като изборът на полето е случаен.

Ако B = {извлечената топка е бяла}, ще имаме P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Това, което искаме да получим, е вероятността топката да бъде извадена от кутията Ui, знаейки, че топката е бяла, т.е. P (Ui | B), и да видим коя от трите стойности е най-висока, за да знаеш кутията е по-вероятно да извлече бялата топка.

Прилагане на теоремата на Байес към първата от кутийките:

А за другите две:

P (U2 | B) = 2/6 и P (U3 | B) = 1/6.

След това първата кутия е тази, която има по-голяма вероятност да бъде избрана за извличане на топката-бияч.