Линейна интерполация: Метод, решени упражнения
Линейната интерполация е метод, който произхожда от общата интерполация на Нютон и позволява да се определи чрез приближение неизвестна стойност, която е между две дадени числа; има междинна стойност. Той се прилага и за приближаващи функции, където стойностите f (a) и f (b) са известни и искаме да знаем междинното от f (x) .
Има различни видове интерполация, като линейни, квадратични, кубични и по-високи степени, като най-простият е линейното приближение. Цената, която трябва да се плати с линейна интерполация е, че резултатът няма да бъде толкова точен, колкото с приближенията по функции на по-високи степени.
дефиниция
Линейната интерполация е процес, който ви позволява да изведете стойност между две добре дефинирани стойности, които могат да бъдат в таблица или в линейна графика.
Например, ако знаете, че 3 литра мляко са на стойност $ 4 и че 5 литра са на стойност $ 7, но искате да знаете каква е стойността на 4 литра мляко, интерполирайте, за да определите тази междинна стойност.
метод
За да се оцени една междинна стойност на дадена функция, функцията f (x) се апроксимира с линия r (x), което означава, че функцията варира линейно с "x" за участък "x = a" и "x = б »; т.е. за стойност "x" в интервала (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ), стойността на "y" се дава от линията между точките и се изразява със следното отношение:
(y - y 0 ) x (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
За да бъде линейна интерполация, е необходимо интерполационният полином да е от степен 1 (n = 1), така че да се приспособи към стойностите на x 0 и x 1.
Линейната интерполация се основава на сходството на триъгълниците по такъв начин, че, извличайки геометрично от предишния израз, можем да получим стойността на «y», която представлява неизвестната стойност за «x».
По този начин трябва да:
a = tan Ɵ = (противоположна страна 1 ent съседна страна 1 ) = (противоположна страна 2 ent съседна страна 2 )
Изразен по друг начин, той е:
(y - y 0 ) x (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Като изчистите "и" от изразите, имате:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
По този начин получаваме общото уравнение за линейна интерполация:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Като цяло линейната интерполация дава малка грешка над реалната стойност на истинската функция, въпреки че грешката е минимална в сравнение с това, ако интуитивно изберете число, близко до това, което искате да намерите.
Тази грешка възниква, когато се опитате да приближите стойността на крива с права линия; за тези случаи размерът на интервала трябва да бъде намален, за да стане подходът по-прецизен.
За по-добри резултати по отношение на подхода е препоръчително да се използват функции от клас 2, 3 или дори по-висок клас за извършване на интерполация. За тези случаи теоремата на Тейлър е много полезен инструмент.
Решени упражнения
Упражнение 1
Броят на бактериите на единица обем, съществуващ в инкубация след х часа, е представен в следващата таблица. Искате да знаете какъв е обемът на бактериите за времето от 3.5 часа.
разтвор
Референтната таблица не установява стойност, която показва количеството бактерии за време от 3.5 часа, но имат по-високи и по-ниски стойности, съответстващи на време от 3 и 4 часа, съответно. По този начин:
х 0 = 3 и 0 = 91
x = 3.5 y =?
х 1 = 4 и 1 = 135
Сега математическото уравнение се прилага, за да се намери интерполираната стойност, която е следната:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [x (x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
След това съответните стойности се заменят:
y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) 4 (4 - 3)]
y = 91 + (44) * [(0.5) ÷ (1)]
у = 91 + 44 * 0.5
y = 113
Така се получава, че за време от 3.5 часа, количеството на бактериите е 113, което представлява междинно ниво между обема на бактериите, съществуващи по време на 3 и 4 часа.
Упражнение 2
Луис има фабрика за сладолед и иска да направи проучване, за да определи доходите, които е имал през август от направените разходи. Мениджърът на компанията прави графика, която изразява тази връзка, но Луис иска да знае:
Какви са приходите за август, ако е направен разход от $ 55, 000?
разтвор
Дадена е графика със стойности на приходите и разходите. Луис иска да знае какъв е доходът от август, ако фабриката има разход от $ 55, 000. Тази стойност не се отразява директно в графиката, но стойностите са по-високи и по-ниски от това.
Първо се прави таблица, в която лесно да се свържат стойностите:
Сега, формулата за интерполация се използва за определяне на стойността на y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
След това съответните стойности се заменят:
y = 56, 000 + (78, 000 - 56, 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]
y = 56, 000 + (22, 000) * [(10, 000) ÷ (17, 000)]
y = 56, 000 + (22, 000) * (0, 588)
у = 56, 000 + 12, 936
у = $ 68, 936.
Ако през август бе направен разход от $ 55, 000, доходът беше $ 68, 936.
