Как да изчислим страни и ъгли на триъгълник?

Има няколко начина за изчисляване на страни и ъгли на триъгълник . Те зависят от типа триъгълник, с който работите.

В тази възможност ще покажем как да изчислим страни и ъгли на правоъгълен триъгълник, като приемем, че определени триъгълни данни са известни.

Елементите, които ще се използват, са:

- Питагоровата теорема

При правоъгълен триъгълник с крака "а", "б" и хипотенуза "в" е вярно, че "c² = a² + b²".

- Площ на триъгълник

Формулата за изчисляване на площта на всеки триъгълник е A = (b × h) / 2, където «b» е дължината на основата и «h» на дължината на височината.

- Ъгли на триъгълник

Сумата от трите вътрешни ъгъла на триъгълника е 180º.

- Тригонометричните функции:

Помислете за правоъгълен триъгълник. Тогава, синус, косинус и тангенциални тригонометрични функции на ъгъла на бета (β) са определени както следва:

sin (β) = CO / хип, cos (β) = CA / хип и тен (β) = CO / CA.

Как да изчислим страни и ъгли на правоъгълен триъгълник?

При правоъгълен триъгълник ABC могат да възникнат следните ситуации:

1- Двата крака са известни

Ако кракът "а" е с размери 3 cm, а кракът "b" е 4 cm, тогава за изчисляване на стойността на "c" се използва питагоровата теорема. Подменяйки стойностите на «a» и «b», получаваме, че c² = 25 cm², което означава, че c = 5 cm.

Сега, ако ъгълът β е противоположен на крака "b", тогава sin (β) = 4/5. При прилагане на обратната синусова функция в това последно равенство получаваме, че β = 53.13º. Вече са известни два вътрешни ъгъла на триъгълника.

Нека θ е ъгълът, който остава да бъде известен, след това 90º + 53, 13º + θ = 180º, от което получаваме, че θ = 36, 87º.

В този случай не е необходимо известните страни да са двата крака, важното е да се знае стойността на всяка от двете страни.

2 - Катетус и районът са известни

Нека a = 3 cm известния крак и A = 9 cm² площта на триъгълника.

В правоъгълен триъгълник единият крак може да се разглежда като основа, а другият като височина (тъй като те са перпендикулярни).

Да предположим, че "а" е основата, следователно 9 = (3 × h) / 2, от която се получава, че другият катеус е с размери 6 cm. За изчисляване на хипотенузата продължаваме както в предишния случай, и получаваме, че c = √45 cm.

Сега, ако ъгълът β е противоположен на крака "а", тогава sin (β) = 3 / .45. При изчистване на β получаваме, че неговата стойност е 26.57º. Остава само да се знае стойността на третия ъгъл θ.

Удовлетворява се, че 90º + 26, 57º + θ = 180º, от което се прави заключението, че θ = 63, 43º.

3- Известни са ъгъл и крак

Нека β = 45 ° е известният ъгъл и a = 3 cm от известния крак, където кракът "а" е противоположен на ъгъла β. Използвайки формулата на допирателната, получаваме tg (45º) = 3 / CA, от което се оказва, че CA = 3 cm.

Използвайки Питагоровата теорема, получаваме, че c² = 18 cm², т.е. c = 3√2 cm.

Известно е, че ъгълът измерва 90º и че β измерва 45º, от което се прави заключението, че третият ъгъл измерва 45º.

В този случай познатата страна не трябва да е крак, тя може да бъде всяка от трите страни на триъгълника.