Векторно пространство: база и измерение, аксиоми, свойства, примери

Векторното пространство е непразно множество V = { u , v , w , ......}, чиито елементи са вектори. С тях се извършват някои важни операции, сред които се открояват следните:

- Сума между два вектора u + v, която води до z, което принадлежи на множеството V.

- Умножение на реално число α с вектор v : αv, който дава друг вектор и който принадлежи на V.

За да обозначим вектор, използваме удебелен шрифт ( v е вектор), а за скалари или числа - гръцки букви (α е число).

Аксиоми и свойства

За да бъде векторно пространство, трябва да се изпълнят следните осем аксиоми:

1-комутируемост: u + v = v + u

2-транзитивност: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Наличие на нулевия вектор 0 такъв, че 0 + v = v

4-Съществуване на обратното: обратното на v е (- v ), тъй като v + (- v ) = 0

5-Разпределителна способност на продукта по отношение на векторната сума: α ( u + v ) = α u + α v

6-Разпределителна способност на продукта по отношение на скаларната сума: (α + β) v = α v + β v

7-Асоциативност на произведението на скаларите: α (β v ) = (α β) v

8-Числото 1 е неутрален елемент, тъй като: 1 v = v

Примери за векторни пространства

Пример 1

Векторите в равнината (R 2) са пример за векторно пространство. Вектор в равнината е геометричен обект, който има величина и посока. Тя е представена от ориентиран сегмент, който принадлежи на тази равнина и с размер, пропорционален на неговата величина.

Сумата от два вектора в равнината може да се дефинира като геометричната операция на транслацията на втория вектор след първия. Резултатът от сумата е ориентираният сегмент, който започва от началото на първия и достига върха на втория.

На фигурата може да се отбележи, че сумата в R 2 е комутативна.

Продуктът на а-числото също се определя от вектор. Ако числото е положително, първоначалното векторно направление се поддържа и размерът е α пъти по-голям от оригиналния вектор. Ако числото е отрицателно, адресът е обратен, а размерът на получения вектор е абсолютната стойност на числото.

Векторът, противоположен на вектор, който е v е - v = (- 1) v .

Нулевият вектор е точка в равнината R², а нулевият номер за вектор води до нулевия вектор.

Всичко казано е илюстрирано на фигура 2.

Пример 2

Множеството Р от всички полиноми със степен по-малка или равна на две, включително и нулевата степен, образуват набор, който изпълнява всички аксиоми на векторно пространство.

Нека полиномът P (x) = a x² + bx + c и Q (x) = d x² + ex + f

Определя се сумата от два полинома: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Сумата от полиноми, принадлежащи към множеството P, е комутативна и транзитивна.

Нулевият полином, принадлежащ към множеството P, е този, който има всичките му коефициенти равен на нула:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Сумата на скалар α се дефинира от полином, като например: α P (x) = α x a x² + α ∙ bx + α c

Обратният полином на P (x) е -P (x) = (-1) P (x).

От всичко изложено по-горе следва, че множеството Р на всички полиноми със степен по-малка или равна на две е векторно пространство.

Пример 3

Множеството M на всички матрици от m редове xn колони, чиито елементи са реални числа, образуват истинско векторно пространство по отношение на операциите по добавяне на матрици и произведение на число от матрица.

Пример 4

Множеството F на непрекъснатите функции на действителната променлива, образуват векторно пространство, тъй като е възможно да се дефинира сумата от две функции, умножението на скалар с функция, нулевата функция и симетричната функция. Те също така изпълняват аксиомите, които характеризират векторно пространство.

База и измерение на векторно пространство

основа

Основата на векторното пространство се определя като набор от линейно независими вектори, така че всеки вектор от това векторно пространство може да бъде генериран от линейна комбинация от тях.

Да се ​​комбинират линейно два или повече вектора е да се умножат векторите с някакъв скалар и след това да се добавят векторно.

Например, каноничната основа, дефинирана от единичните вектори (с величина 1) i, j, k, се използва във векторното пространство от три измерения, формирани от R3.

Където i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Това са декартови или канонични вектори.

Всеки вектор V, принадлежащ към R3, се записва като V = a i + b j + c k, което е линейна комбинация от базовите вектори i, j, k . Скаларите или числата a, b, c са известни като декартови компоненти на V.

Също така се казва, че базовите вектори на векторно пространство образуват генераторна група на векторното пространство.

измерение

Размерът на векторното пространство е кардиналният номер на векторна база за споменатото пространство; това е броят на векторите, които съставляват споменатата база.

Този кардинал е максималният брой линейно независими вектори на това векторно пространство и в същото време минималният брой вектори, които образуват генераторна група на споменатото пространство.

Основите на векторното пространство не са уникални, но всички бази на едно и също векторно пространство имат едно и също измерение.

Векторно подпространство

Векторно подпространство S на векторно пространство V е подмножество на V, в което същите операции са дефинирани както във V и отговарят на всички аксиоми на векторното пространство. Следователно, подпространството S също ще бъде векторно пространство.

Пример за векторно подпространство са векторите, които принадлежат на XY равнината. Това подпространство е подмножество на векторно пространство с размерност, по-голямо от множеството вектори, принадлежащи към триизмерното пространство XYZ.

Друг пример за векторно подпространство S1 на векторното пространство S, образувано от всички 2 × 2 матрици с реални елементи, е дефинираното по-долу:

Вместо S2, дефинирано по-долу, въпреки че е подмножество от S, не образува векторно подпространство:

Решени упражнения

-Упражнение 1

Нека векторите V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) и V3 = (0, 0, 3) в R3.

а) Докажете, че те са линейно независими.

б) Докаже, че те образуват база в R3, тъй като всяка тройка (x, y, z) може да бъде записана като линейна комбинация от V1, V2, V3.

c) Намерете компонентите на тройната V = (-3, 5, 4) в базата V1, V2, V3 .

разтвор

Критерият за демонстриране на линейна независимост се състои в установяване на следния набор от уравнения в α, β и γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

В случай, че единственото решение на тази система е α = β = γ = 0, тогава векторите са линейно независими, в противен случай те не са.

За да получим стойностите на α, β и γ, предлагаме следната система от уравнения:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ = 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ = 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Първият води до α = 0, а вторият α = -2 ∙ β, но като α = 0, тогава β = 0. Третото уравнение предполага, че γ = (- 1/3) β, но като β = 0, тогава γ = 0.

Отговор на

Заключението е, че това е набор от линейно независими вектори в R3.

Отговор b

Сега нека напишем тройката (x, y, z) като линейна комбинация от V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ = 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ = 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ = 3 = z

Къде имате:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Първото показва α = x, второто β = (yx) / 2 и третото γ = (z- и / 2 + x / 2) / 3. По този начин ние открихме генераторите на α, β и γ на всяка тройка от R3

Отговор c

Да намерим компонентите на тройната V = (-3, 5, 4) в базата V1, V2, V3 .

Заместваме съответните стойности в изразите, открити преди за генераторите.

В този случай имаме: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Това означава, че:

(-3, 5, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

И накрая:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Ние заключаваме, че V1, V2, V3 образуват база във векторното пространство R3 на размерност 3.

-Упражнение 2

Експресирайте полинома P (t) = t² + 4t -3 като линейна комбинация от P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t и P3 (t) = t + 3.

разтвор

P (t) = x P1 (t) + и P2 (t) + z P3 (t)

където числата x, y, z трябва да бъдат определени.

Чрез умножаване и групиране на термини с еднаква степен в t получавате:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Което ни води до следната система от уравнения:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Решенията на тази система от уравнения са:

х = -3, у = 2, z = 4.

Това означава, че:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Упражнение 3

Покажете, че векторите v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) и v3 = (2, 1, -1, 1) на R⁴ са линейно независими.

разтвор

Ние линейно комбинираме трите вектора v1, v2, v3 и изискваме комбинацията да добави нулевия елемент на R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Искам да кажа,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Това ни води до следната система от уравнения:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Изваждайки първото и четвъртото, имаме: -a + c = 0 какво означава a = c.

Но ако погледнете третото уравнение, имаме a = -c. Единственият начин да се постигне a = c = (- c) е, че c е 0 и следователно a също ще бъде 0.

a = c = 0

Ако заместим този резултат в първото уравнение, ще заключим, че b = 0.

Накрая a = b = c = 0, така че можем да заключим, че векторите v1, v2 и v3 са линейно независими.