Булева алгебра: история, теореми и постулати, примери
Булева алгебра или булева алгебра е алгебричната нотация, използвана за третиране на двоични променливи. Тя обхваща проучванията на всяка променлива, която има само два възможни резултата, допълващи се и взаимно изключващи се. Например променливите, чиято единствена възможност е вярна или невярна, правилна или неправилна, включени или изключени, са в основата на изучаването на булева алгебра.
Булевата алгебра е в основата на цифровата електроника, което я прави доста присъства в съвременните времена. Тя се управлява от концепцията за логически порти, където операциите, известни в традиционната алгебра, са значително засегнати.
история
Булевата алгебра е въведена през 1854 г. от английския математик Джордж Бул (1815 - 1864), който е бил самоук на времето. Неговата загриженост е породена от спор между Август Де Морган и Уилям Хамилтън относно параметрите, които определят тази логическа система.
Джордж Бул твърди, че дефиницията на числовите стойности 0 и 1 съответства, в областта на логиката, на интерпретацията на Nothing и Universe съответно.
Намерението на Джордж Бул е да определи чрез свойствата на алгебра изразите на логиката на предложението, необходими за справяне с променливите от двоичен тип.
През 1854 г. най-значимите раздели на булевата алгебра са публикувани в книгата " Изследване на законите на мисълта, на които се основават математическите теории на логиката и вероятността".
Това любопитно заглавие ще бъде обобщено по-долу като " Законите на мисълта" ("Законите на мисълта"). Заглавието скочи до славата поради непосредственото внимание, което то имаше от математическата общност по онова време.
През 1948 г. Клод Шанън го прилага при проектирането на бистабилни електрически вериги. Това послужи като въведение в приложението на булевата алгебра в цялата електронно-цифрова схема.
структура
Елементарните стойности в този тип алгебра са 0 и 1, които съответстват съответно на FALSE и TRUE. Основните операции в булевата алгебра са 3:
- Операция И или връзка. Представени от период (.). Синоним на продукта
- ИЛИ операция или разединение. Представено с кръстче (+). Синоним на сумата.
- Операция НЕ или отрицание. Представена от префикса НЕ (НЕ А). Той е известен също като добавка.
Ако един набор А дефинира 2 закона на вътрешната композиция, обозначени като продукт и сума (. +), Се казва, че тройната (А. +) е булева алгебра, ако и само ако споменатата тройка изпълнява условието да бъде прицел разпределителни.
За да се определи разпределителна мрежа, трябва да бъдат изпълнени условията за разпределение между дадените операции:
, е разпределително по отношение на сумата + a. (b + c) = (а. б) + (а) в)
+ е дистрибутивен по отношение на продукта. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Елементите, които съставляват множеството А, трябва да са двоични, като по този начин имат стойности за вселената или празни стойности .
приложения
Неговият основен сценарий е дигиталният клон, където служи за структуриране на схемите, които съставляват логическите операции. Изкуството на простотата на схемите в полза на оптимизиране на процесите е резултат от правилното прилагане и практика на булевата алгебра.
От разработването на електрически табла, чрез предаване на данни до програмиране на различни езици, често можем да намерим булева алгебра във всички видове цифрови приложения.
Булевите променливи са много чести в структурата на програмирането. В зависимост от използвания език за програмиране ще има операции по структурен код, които използват тези променливи. Условните и аргументите на всеки език поддържат булеви променливи за дефиниране на процесите.
постулати
Има теореми, които управляват структурните логически закони на булевата алгебра. По същия начин, има постулати да се знаят възможните резултати в различни комбинации от двоични променливи, в зависимост от извършената операция.
Сума (+)
Операторът OR, чийто логически елемент е съюзът (U), е дефиниран за двоични променливи, както следва:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Продукт (.)
Операторът AND, чийто логически елемент е пресечната точка (∩), е дефиниран за двоични променливи както следва:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1
Срещу (НЕ)
Операторът NOT, чийто логически елемент е комплектът (X) ', е дефиниран за двоични променливи, както следва:
НЕ 0 = 1
НЕ 1 = 0
Много от постулатите се различават от техните еквиваленти в конвенционалната алгебра. Това се дължи на областта на променливите. Например, добавянето на вселетни елементи в булева алгебра (1 + 1) не може да даде конвенционалния резултат от 2, тъй като той не принадлежи на елементите на двоичния набор.
теореми
Правило на нула и единство
Всяка проста операция, която включва елемент с двоични променливи, се дефинира:
0 + A = A
1 + A = 1
0. А = 0
1. А = А
Равни сили или идемпотентност
Операциите между равни променливи се дефинират като:
A + A = A
А. А = А
допълване
Всяка операция между променлива и нейното допълнение се определя като:
А + НЕ А = 1
А. НЕ A = 0
Инволюция или двойно отричане
Всяко двойно отрицание ще се счита за естествена променлива.
НЕ (НЕ A) = A
комутативен
А + В = В + А; Комутативност на сумата.
А. B = B А; Комутативност на продукта.
асоциативен
А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С; Асоциативност на сумата.
А. (В. С) = (А.В). C = A Б. С; Асоциативност на продукта.
разпределителен
А + (В.С) = (А + В). (А + С); Разпределение на сумата по отношение на продукта.
А. (В + С) = (А.В) + (А + С); Дистрибутивност на продукта по отношение на сумата.
Абсорбционни закони
Има много закони за усвояването между множество
А. (A + B) = A
А. (НЕ A + B) = A. B
НЕ A (A + B) = НЕ A. B
(A + B). (A + NOT B) = A
A + A. B = A
A + NOT A. В = А + В
НЕ A + A. B = НЕ A + B
А. B + A. НЕ B = A
Теоремата на Морган
Те са закони на трансформация, които обработват двойки променливи, които взаимодействат между дефинираните операции на булевата алгебра (+.).
НЕ (A. B) = НЕ A + NOT B
НЕ (A + B) = НЕ A. НЕ Б
A + B = NOT (НЕ A + NOT B)
А. B = НЕ (НЕ A. НЕ Б)
двойственост
Всички постулати и теореми имат способността за двойственост. Това означава, че при обмен на променливи и операции, полученото предложение се проверява. Това означава, че при обмен на 0 за 1 и AND за OR или обратно; създава се израз, който също ще бъде напълно валиден.
Например, ако вземете постулата
1. 0 = 0
И двойствеността се прилага
0 + 1 = 1
Получава се друг напълно валиден постулат.
Карта на Карно
Картата на Карно е схема, използвана в булева алгебра за опростяване на логическите функции. Тя се състои от двуизмерна подредба, подобна на таблиците на истинността на логиката на предложението. Данните от таблиците на истината могат да бъдат директно заснети на картата на Карно.
Картата на Карно може да приеме процеси с до 6 променливи. За функции с по-голям брой променливи се препоръчва използването на софтуер, за да се опрости процеса.
Предложен през 1953 г. от Maurice Karnaugh, той е създаден като фиксиран инструмент в областта на булевата алгебра, тъй като неговото изпълнение синхронизира човешката потенциалност с необходимостта от опростяване на булевите изрази, ключов аспект в плавността на цифровите процеси.
Примери
Булевата алгебра се използва за намаляване на логическите входове в верига, където приоритетът е да се приведе сложността или нивото на веригата до минимално възможния израз. Това се дължи на забавянето на изчисленията, което всяка врата приема.
В следващия пример ще наблюдаваме опростяването на логическия израз до неговия минимален израз, използвайки теоремите и постулатите на булевата алгебра.
НЕ (AB + A + B). НЕ (А + НЕ Б)
НЕ [A (B + 1) + B]. НЕ (А + НЕ Б); Факторингът на А с общ фактор.
НЕ [A (1) + B]. НЕ (А + НЕ Б); По теорема A + 1 = 1.
НЕ (A + B). НЕ (А + НЕ Б); от теорема А. 1 = A
(НЕ A. НЕ Б). [НЕ A. НЕ (НЕ Б)];
По теоремата на Морган НЕ (A + B) = НЕ А. НЕ Б
(НЕ A. НЕ Б). (НЕ A. B); С двойна отрицателна теорема НЕ (НЕ А) = А
НЕ А. НЕ Б. НЕ А. Б; Алгебрично групиране
НЕ А. НЕ А. НЕ Б. Б; Комутативност на продукта А. B = B А
НЕ А. НЕ Б. Б; По теорема А. А = А
НЕ А. 0; По теорема А. НЕ A = 0
0; По теорема А. 0 = 0
А. Б. C + НЕ A + A. НЕ Б. C
А. C. (В + НЕ Б) + НЕ А; Факторинг (А.С.) с общ фактор.
А. C. (1) + НЕ A; По теорема A + NOT A = 1
А. С + НЕ А; По правило правилото за нула и единица 1. А = А
НЕ A + C ; По закон от Morgan A + NOT A. В = А + В
За това решение законът на Морган трябва да бъде разширен, за да се дефинират:
НЕ (НЕ А). C + НЕ A = НЕ A + C
Тъй като НЕ (НЕ А) = А по инволюция.
Опростете логическата функция
НЕ А. НЕ Б. НЕ С + НЕ А. НЕ Б. С + НЕ А. НЕ С до своя минимален израз
НЕ А. НЕ Б. (НЕ С + С) + НЕ А. НЕ С; Факторинг (НЕ А. НЕ Б) с общ фактор
НЕ А. НЕ Б. (1) + НЕ А. НЕ С; По теорема A + NOT A = 1
(НЕ A. НЕ B) + (НЕ A. НЕ С); По правило правилото за нула и единица 1. А = А
НЕ A (НЕ B + НЕ C); Факторинг НЕ А с общ фактор
НЕ А. НЕ (В. С); По законите на Морган НЕ (А. Б) = НЕ А + НЕ Б
НЕ [A + (B. C)] По законите на Morgan НЕ (A. B) = НЕ A + NOT B
Всяка от 4-те опции в получер шрифт представлява възможно решение за намаляване на нивото на веригата
Опростете логическата функция до нейния минимален израз
(A) НЕ B, C + A, НЕ B, B, D + НЕ A, НЕ B). C
(А, НЕ Б, С + А, 0, D + НЕ, НЕ Б). С; По теорема А. НЕ A = 0
(А, НЕ Б, С + 0 + НЕ А, НЕ Б). С; По теорема А. 0 = 0
(А, НЕ Б, С + НЕ А, НЕ Б). С; По теорема A + 0 = A
А. НЕ Б. C. С + НЕ А. НЕ Б. С; Чрез разпределение на продукта по отношение на сумата
А. НЕ Б. С + НЕ А. НЕ Б. С; По теорема А. А = А
НЕ Б. С (А + НЕ А) ; Факторинг (НЕ Б. С) с общ фактор
НЕ Б. С (1); По теорема A + NOT A = 1
НЕ Б. С; По правило правилото за нула и единица 1. А = А
