Инжективна функция: от какво се състоят, за какво се използват и примери с решени упражнения

Инжекционната функция е цялата връзка на елементите на домейна с един елемент на кодомена. Също известна като функция „ един към един“ ( 1 - 1 ), те са част от класификацията на функциите по отношение на начина, по който техните елементи са свързани.

Елемент от кодомена може да бъде само образ на един елемент от домейна, по този начин стойностите на зависимата променлива не могат да бъдат повторени.

Ясен пример би било да се групират мъжете с работа в група А и в група Б с всички лидери. Функцията F ще бъде тази, която свързва всеки работник с неговия шеф. Ако всеки работник е свързан с различен шеф през F, то F ще бъде инжектираща функция .

За да разгледа функция като инжектираща, трябва да се изпълни следното:

₁ x _{1 2} x ₂ (F (x ₁ ) (F (x ₂ )

Това е алгебричният начин да се каже За всички х _1, различни от х ₂, имаме F (x ₁ ), различна от F (x ₂ ).

За какво са инжекционните функции?

Инжективността е свойство на непрекъснатите функции, тъй като те осигуряват разпределението на изображенията за всеки елемент от областта, съществен аспект в непрекъснатостта на дадена функция.

Когато начертавате линия, успоредна на оста Х на графиката на инжекционната функция, само една графика трябва да бъде докосната в една точка, независимо от височината или величината на Y, която е изтеглена. Това е графичният начин за тестване на инжекционната функция на дадена функция.

Друг начин да проверите дали дадена функция е инжективна, е да изчистите независимата променлива X от гледна точка на зависимата променлива Y. Тогава трябва да проверите дали домейнът на този нов израз съдържа реалните числа, в същото време за всяка стойност на Y Има само една стойност на X.

Функциите или отношенията на реда се подчиняват, наред с други форми, на обозначението F: D _f → C _f

Това се чете F, което отива от D _f на C _f

Когато функцията F се отнася до множествата на домейн и кодомен. Известен също като стартовият комплект и пристигането.

Домейн D _f съдържа допустимите стойности за независимата променлива. Кодоменът C _f се формира от всички стойности, достъпни за зависимата променлива. Елементите на _Cf, свързани с D _f, са известни като функционален обхват ( _Rf ).

Кондициониране на функциите

Понякога една функция, която не е инжектирана, може да бъде обект на определени условия. Тези нови условия могат да го превърнат в инжекционна функция. Всички видове модификации на домейна и кодомена на функцията са валидни, когато целта е да се съобразят с свойствата на инжекционността в съответната връзка.

Примери на инжекционни функции с решени упражнения

Пример 1

Нека функцията F: R → R се дефинира от линията F (x) = 2x - 3

A: [Всички реални числа]

Наблюдава се, че за всяка стойност на домейна има изображение в кодомена. Това изображение е уникално, което прави F инжекционна функция. Това се отнася за всички линейни функции (функции, чиято най-висока степен на променливата е една).

Пример 2

Нека функцията F: R → R се дефинира с F (x) = x2 +1

Когато рисувате хоризонтална линия, се наблюдава, че графиката се среща повече от един път. Поради това, функцията F не е инжектираща, докато R → R е дефиниран

Продължаваме да уточняваме домейна на функцията:

F: R + U {0} → R

Сега независимата променлива не приема отрицателни стойности, като по този начин избягва повтарящите се резултати и функцията F: R + U {0} → R, дефинирана от F (x) = x2 + 1, е инжективна .

Друго хомоложно решение би било да се ограничи домейнът отляво, т.е. да се ограничи функцията само да приема отрицателни и нулеви стойности.

Продължаваме да определяме домейна на функцията

F: R- U {0} → R

Сега независимата променлива не приема отрицателни стойности, това избягва повтарящите се резултати и функцията F: R- U {0} → R, дефинирана от F (x) = x2 + 1, е инжекционна .

Тригонометричните функции имат поведение, подобно на вълните, където много често се срещат повторения на стойности в зависимата променлива. Чрез специфично кондициониране, основано на предварителни познания за тези функции, можем да ограничим домейна да отговаря на условията за инжектиране.

Пример 3

Нека функцията F е: [- π / 2, π / 2 ] → R, дефинирана от F (x) = Cos (x)

В интервала [- π / 2 → π / 2 ] косинусната функция променя резултатите си между нула и едно.

Както е показано на графиката. Започнете от нула при x = - π / 2, след което достигнете максимум при нула. След като x = 0, стойностите започват да се повтарят, докато се върнат на нула при x = π / 2. По този начин е известно, че F (x) = Cos (x) не е инжективен за интервала [- π / 2, π / 2 ] .

При изследване на графиката на функцията F (x) = Cos (x), наблюдаваме интервалите, в които поведението на кривата се адаптира към критериите за инжектиране. Като например интервала

[0, π ]

Когато функцията варира от 1 до -1, без да се повтаря никаква стойност в зависимата променлива.

По този начин функционалната функция F: [0, π ] → R дефинирано с F (x) = Cos (x). Той е инжективен

Има нелинейни функции, когато се представят подобни случаи. За изрази с рационален тип, където в знаменателя има поне една променлива, съществуват ограничения, които пречат на инжекционната връзка.

Пример 4

Нека функцията F: R → R се дефинира с F (x) = 10 / x

Функцията е дефинирана за всички реални числа, с изключение на {0}, която има неопределеност (не може да бъде разделена на нула) .

При приближаване до нула вляво зависимата променлива заема много големи отрицателни стойности и веднага след нулата стойностите на зависимата променлива заемат големи положителни числа.

Това разрушаване причинява израза F: R → R, дефиниран от F (x) = 10 / x

Не се инжектирайте.

Както беше видяно в предишните примери, изключването на стойностите в областта служи за "поправяне" на тези неопределености. Продължаваме да изключваме нула от домейна, като оставяме настройките за заминаване и пристигане, определени както следва:

R - {0} → R

Където R - {0} символизира действията, с изключение на набор, чийто единствен елемент е нула.

По този начин изразът F: R - {0} → R, дефиниран от F (x) = 10 / x, е инжекционен.

Пример 5

Нека функцията F е: [0, π ] → R, дефинирана от F (x) = Sen (x)

В интервала [0, π ] функцията на синуса променя резултатите си между нула и едно.

Както е показано на графиката. Започнете от нула при x = 0, след това достигнете максимум при x = π / 2. След като x = π / 2 стойностите започват да се повтарят, докато се върнат към нула при x = π. По този начин е известно, че F (x) = Sen (x) не е инжективен за интервала [0, π ] .

При изследване на графиката на функцията F (x) = Sen (x), наблюдаваме интервалите, в които поведението на кривата се адаптира към критериите за инжектиране. Например, интервалът [ π / 2 , 3π / 2 ]

Когато функцията варира от 1 до -1, без да се повтаря никаква стойност в зависимата променлива.

По този начин функцията F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R, дефинирано от F (x) = Sen (x). Той е инжективен

Пример 6

Проверете дали функцията F: [0, ∞) → R, дефинирана от F (x) = 3x2, е инжекционна.

По този повод областта на изразяване вече е ограничена. Забелязва се също, че стойностите на зависимата променлива не се повтарят в този интервал.

Следователно може да се заключи, че F: [0, → ) → R, дефинирано от F (x) = 3x2, е инжекционно

Пример 7

Определете коя от следните функции е

1. Той е инжективен. Свързаните елементи на кодомена са уникални за всяка стойност на независимата променлива.
2. Той не е инжективен. Има елементи на кодомена, свързани с повече от един елемент на стартовия набор.
3. Той е инжективен
4. Той не е инжективен

Предложени упражнения за клас / къща

Проверете дали са инжектирани следните функции:

F: [0, ∞) → R, дефинирано от F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R, дефинирано от F (x) = Tan (x)

F: [- π , π ] → R, дефинирано от F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R, дефиниран от линията F (x) = 7x + 2