Квадратични последователности: примери, правила и решени упражнения

Квадратичните последователности, в математически термини, се състоят от последователности от числа, които следват определено аритметично правило. Интересно е да се знае това правило, за да се определи някое от условията на дадена последователност.

Един от начините да се направи това е да се определи разликата между две последователни термини и да се види дали получената стойност винаги се повтаря. Когато случаят е такъв, се казва, че той е редовен приемник .

Но ако не се повтори, можете да опитате да разгледате разликата между разликите и да видите дали тази стойност е постоянна. Ако е така, тогава това е квадратична последователност .

Примери за редовни последователности и квадратични последователности

Следните примери помагат за изясняване на обяснението досега:

Пример за редовно наследяване

Нека последователността S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}

Тази последователност, обозначена с S, е безкраен набор от числа, в този случай на цели числа.

Може да се види, че това е нормална последователност, защото всеки термин се получава чрез добавяне на 3 към предишния термин или елемент:

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Казано по друг начин: тази последователност е редовна, защото разликата между следващия и предишния дава фиксирана стойност. В дадения пример тази стойност е 3.

Редовните последователности, които се получават чрез добавяне на фиксирано количество към предходния термин, също се наричат аритметични прогресии. А разликата -констант между последователните термини се нарича разум и се обозначава като R.

Пример за нередовна и квадратична последователност

Вижте сега следната последователност:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}

Когато се изчисляват последователните разлики, се получават следните стойности:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Техните различия не са постоянни, така че може да се потвърди, че това е нередовна последователност.

Въпреки това, ако разгледаме множеството от разлики, имаме друга последователност, която ще бъде обозначена като S _dif :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ....}

Тази нова последователност е редовна последователност, тъй като всеки термин се получава чрез добавяне на фиксираната стойност R = 2 към предишната. Ето защо можем да потвърдим, че S е квадратна последователност.

Общо правило за изграждане на квадратична последователност

Съществува обща формула за изграждане на квадратна последователност:

T _n = A 2 n2 + B + n + C

В тази формула _Tn е терминът на позицията n на последователността. А, В и С са фиксирани стойности, докато п се променя едно по едно, т.е. 1, 2, 3, 4, ...

В последователността S от предишния пример А = 1, В = 1 и С = 0. От това следва, че формулата, която генерира всички термини е: T _n = n2 + n

Това е:

T1 = 12 + 1 = 2

T2 = 22 + 2 = 6

T3 = 32 + 3 = 12

T5 = 52 + 5 = 30

T _n = n2 + n

Разлика между два последователни члена на квадратична последователност

T _{n + 1} - T _n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] - [A 2 n2 + B + n + C]

Разработването на израз чрез забележителен продукт е:

T _{n + 1} - T _n = A 2 n2 + A ∙ 2 + n + A + B + n + B + C - A 2 n2 - B - n - C

Чрез опростяване получавате:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Това е формулата, която дава последователността на разликите S _Dif, която може да бъде написана по следния начин:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Където следващият срок ясно е 2 ∙ Понякога предишният. Това означава, че причината за последователността на разликите S _dif е: R = 2 ∙ A.

Решени упражнения с квадратични последователности

Упражнение 1

Нека последователността S = {1, 3, 7, 13, 21, ......}. Определете дали:

i) Той е редовен или не

ii) Тя е квадратична или не

iii) Това е квадратично, последователността на различията и тяхната причина

отговори

i) Да изчислим разликата между следващия термин и предишния:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Можем да потвърдим, че последователността S не е редовна, защото разликата между последователни слагания не е постоянна.

ii) Последователността на разликите е правилна, защото разликата между техните термини е постоянната стойност 2. Следователно, оригиналната последователност S е квадратична.

iii) Вече сме установили, че S е квадратичен, последователността на разликите е:

S _dif = {2, 4, 6, 8, ...} и съотношението му е R = 2.

Упражнение 2

Нека последователността S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} на предишния пример, където е проверено, че тя е квадратична. определяне на:

i) Формулата, която определя общия термин T _n.

ii) Проверете третия и петия срок.

iii) Стойността на десетия срок.

отговори

i) Общата формула на T _n е A 2 n2 + B + n + C. Тогава остава да знаем стойностите на A, B и C.

Последователността на разликите е права 2. Също така за всяка квадратична последователност съотношението R е 2 as A, както е показано в предишните раздели.

R = 2 = A = 2, което ни кара да заключим, че A = 1.

Първият член на последователността на разликите S _Dif е 2 и трябва да отговаря на A 2 (2n + 1) + B, с n = 1 и A = 1, т.е.

2 = 1 ∙ (2 + 1 + 1) + B

изчиствайки B, получавате: B = -1

Тогава първият член на S (n = 1) е на стойност 1, т.е.: 1 = A + 12 + B + 1 + C. Както вече знаем, че A = 1 и B = -1, заместването е:

1 = 1 + 12 + (-1) + 1 + C

Изчиствайки C, получаваме неговата стойност: C = 1.

В обобщение:

А = 1, В = -1 и С = 1

Тогава n-тият термин ще бъде T _n = n2 - n + 1

ii) Третият термин T ₃ = 32 - 3 + 1 = 7 и се проверява. Петият T5 = 52 - 5 + 1 = 21 също се проверява.

iii) Десетият срок ще бъде Т ₁₀ = 102 - 10 + 1 = 91.

Упражнение 3

Фигурата показва последователност от пет фигури. Решетката представлява единица за дължина.

i) Определете последователността за площта на фигурите.

ii) Покажете, че това е квадратична последователност.

iii) Намерете областта от Фигура # 10 (не е показана).

отговори

i) Последователността S, съответстваща на областта на последователността от числа, е:

S = {0, 2, 6, 12, 20, ., , , , }

ii) Последователността, съответстваща на последователните разлики на термините на S, е:

S _dif = {2, 4, 6, 8, ., , , , }

Тъй като разликата между последователни термини не е константа, тогава S не е нормална последователност. Трябва да знаем дали е квадратично, за което отново правим последователността на разликите, получавайки:

{2, 2, 2, .......}

Тъй като всички термини в последователността се повтарят, се потвърждава, че S е квадратична последователност.

iii) Последователността S _dif е правилна и нейното съотношение R е 2. Използвайки уравнението, показано по-горе R = 2, A, остава:

2 = 2, A, което означава, че A = 1.

Вторият член на последователността на разликите S _Dif е 4, а n-тият член на S _Dif е

A ∙ (2n + 1) + B.

Вторият термин има n = 2. Освен това вече беше определено, че A = 1, така че използвайки предишното уравнение и замествайки, имаме:

4 = 1 ∙ (2 + 2 + 1) + B

Изчиствайки B получавате: B = -1.

Известно е, че вторият член на S е 2 и че той трябва да изпълнява формулата на общия термин с n = 2:

T _n = A 2 n2 + B + n + C; п = 2; А = 1; В = -1; Т2 = 2

Искам да кажа