Колко решения има квадратичното уравнение?

Квадратично уравнение или уравнение от втора степен могат да имат нула, едно или две реални решения, в зависимост от коефициентите, които се появяват в споменатото уравнение.

Ако работите върху комплексни числа, можете да кажете, че всяко квадратично уравнение има две решения.

За да започнете квадратично уравнение е уравнението на формата ax² + bx + c = 0, където a, b и c са реални числа, а x е променлива.

Казва се, че x1 е решение на предишното квадратично уравнение, ако заместването на x с x1 удовлетворява уравнението, т.е. ако a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Ако имате например уравнението x²-4x + 4 = 0, то x1 = 2 е решението, тъй като (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Напротив, ако x2 = 0 е заместен, получаваме (0) ²-4 (0) + 4 = 4 и като 4 then 0, то x2 = 0 не е решение на квадратичното уравнение.

Решения на квадратично уравнение

Броят на решенията на квадратичното уравнение може да бъде разделен на два случая, които са:

1.- В реалните числа

Когато се работи с реални числа, квадратичните уравнения могат да имат:

- Решения: това означава, че няма реално число, което да удовлетворява квадратичното уравнение. Например, уравнението, дадено от уравнението x² + 1 = 0, няма реално число, което да удовлетворява това уравнение, тъй като и двете x² са по-големи или равни на нула и 1 е по-строга от нула, така че нейната сума ще бъде по-голяма. строга, че нула.

- Повторно решение: има една единствена реална стойност, която удовлетворява квадратичното уравнение. Например, единственото решение на уравнението x²-4x + 4 = 0 е x1 = 2.

- Две различни решения: има две стойности, които удовлетворяват квадратичното уравнение. Например, x² + x-2 = 0 има две различни решения, които са x1 = 1 и x2 = -2.

2.- В комплексни числа

При работа с комплексни числа квадратичните уравнения винаги имат две решения, които са z1 и z2, където z2 е конюгатът на z1. Освен това те могат да бъдат класифицирани в:

-Комплекси: решенията са във вид z = p ± qi, където p и q са реални числа. Този случай съответства на първия случай от предишния списък.

Чисти комплекси: когато реалната част на решението е равна на нула, т.е. решението има формата z = ± qi, където q е реално число. Този случай съответства на първия случай от предишния списък.

-Комплекси с въображаема част равна на нула: когато комплексната част на решението е равна на нула, т.е. решението е реално число. Този случай съответства на последните два случая от предишния списък.

Как се изчисляват решенията на квадратичното уравнение?

За да изчислим решенията на квадратичното уравнение, се използва формула, известна като "резолвера", която казва, че решенията на уравнение ax2 + bx + c = 0 са дадени от израза на следното изображение:

Количеството, което се появява в квадратния корен, се нарича дискриминант на квадратичното уравнение и се обозначава с буквата "d".

Квадратичното уравнение ще има:

- Две реални решения, ако и само ако, d> 0.

- Реално решение се повтаря ако и само ако, d = 0.

- пет реални решения (или две комплексни решения), ако и само ако, d <0.

Примери:

-Решенията на уравнението x² + x-2 = 0 се дават от:

- Уравнението x²-4x + 4 = 0 има повтарящо се решение, което се дава от:

- Решенията на уравнението x² + 1 = 0 са дадени от:

Както може да се види в този последен пример, х2 е конюгатът на х1.