Потенциален Градиент: Характеристики, Как да го изчислим и Пример

Потенциалният градиент е вектор, който представлява отношението на промяната на електрическия потенциал по отношение на разстоянието във всяка ос на декартова координатна система. По този начин векторът на потенциалния градиент показва посоката, в която скоростта на промяна на електрическия потенциал е по-голяма, в зависимост от разстоянието.

На свой ред модулът за потенциален градиент отразява скоростта на промяна на промяната на електрическия потенциал в определена посока. Ако стойността на това е известна във всяка точка на пространствена област, тогава електрическото поле може да се получи от градиента на потенциала.

Електрическото поле се определя като вектор, с който има специфична посока и величина. Чрез определяне на посоката, в която електрическият потенциал намалява по-бързо - отдалечавайки се от референтната точка - и разделяйки тази стойност на изминатото разстояние, се получава величината на електрическото поле.

функции

Потенциалният градиент е вектор, ограничен от специфични пространствени координати, който измерва връзката на промяната между електрическия потенциал и изминатото разстояние от споменатия потенциал.

Най-забележителните характеристики на наклона на електрическия потенциал са описани по-долу:

1- Потенциалният градиент е вектор. Следователно тя има специфична величина и посока.

2 - Тъй като градиентът на потенциала е вектор в пространството, той има величини, адресирани в осите на X (ширина), Y (висока) и Z (дълбочина), ако декартовата координатна система е взета за отправна точка.

3 - Този вектор е перпендикулярен на еквипотенциалната повърхност в точката, в която се оценява електрическият потенциал.

4- Векторът на потенциалния градиент е насочен към посоката на максимално изменение на функцията на електрически потенциал във всяка точка.

5- Модулът на градиента на потенциала е равен на този, получен от функцията на електрическия потенциал по отношение на изминатото разстояние по посока на всяка от осите на декартовата координатна система.

6- Потенциалният градиент има нулева стойност в неподвижните точки (максимални, минимални и седлови точки).

7- В международната система от единици (SI) единиците за измерване на потенциалния градиент са волта / метри.

8- Посоката на електрическото поле е същата, при която електрическият потенциал намалява по-бързо неговата величина. На свой ред, потенциалният градиент е посочен в посоката, в която потенциалът увеличава неговата стойност по отношение на промяна на позицията. Тогава електрическото поле има същата стойност на потенциалния градиент, но с обратен знак.

Как да го изчислим?

Разликата на електрически потенциал между две точки (точка 1 и точка 2) се дава със следния израз:

когато:

V1: електрически потенциал в точка 1.

V2: електрически потенциал в точка 2.

Е: величина на електрическото поле.

Ѳ: ъгълът на наклона на вектора на електрическото поле, измерен по отношение на координатната система.

Чрез изразяване на споменатата формула по различен начин се извежда следното:

Коефициентът E * cos (Ѳ) се отнася до модула на компонента на електрическото поле в посока dl. Нека L е хоризонталната ос на референтната равнина, след това cos (=) = 1, като това:

По-долу частното между изменението на електрическия потенциал (dV) и промяната в изминатото разстояние (ds) е модулът на потенциалния градиент за споменатия компонент.

От това следва, че величината на градиента на електрическия потенциал е равна на компонента на електрическото поле в посоката на изследването, но с обратен знак.

Въпреки това, тъй като реалната среда е триизмерна, градиентът на потенциала в дадена точка трябва да бъде изразен като сума от три пространствени компонента на осите X, Y и Z на декартовата система.

Чрез разрушаването на вектора на електрическото поле в трите му правоъгълни компонента имаме следното:

Ако в равнината, в която електрическият потенциал има една и съща стойност, има област, частичната производна на този параметър по отношение на всяка от декартовите координати ще бъде нула.

По този начин в точките, които са на еквипотенциални повърхности, интензитетът на електрическото поле ще има нулева величина.

Накрая, векторът на потенциалния градиент може да бъде определен като точно същия вектор на електрическо поле (по величина), с противоположен знак. Така имаме следното:

пример

От горните изчисления трябва да:

Въпреки това, преди да се определи електричното поле като функция на градиента на потенциала, или обратното, посоката, в която се увеличава електрическата разлика на потенциала, трябва първо да се определи.

След това се определя коефициентът на промяната на електрическия потенциал и промяната на нетното изминато разстояние.

По този начин се получава величината на съответното електрическо поле, която е равна на величината на потенциалния градиент в тази координата.

упражнение

Има две успоредни пластини, както е показано на следващата фигура.

Стъпка 1

Определя се посоката на растеж на електрическото поле върху декартовата координатна система.

Електрическото поле расте само в хоризонтална посока, като се има предвид разположението на паралелните плочи. Следователно е възможно да се заключи, че компонентите на градиента на потенциала по оста Y и Z са нула.

Стъпка 2

Данните от интерес са дискриминирани.

- Потенциална разлика: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Разлика в разстоянието: dx = 10 сантиметра.

За да се гарантира съвпадението на мерните единици, използвани съгласно Международната система от единици, количествата, които не са изразени в СИ, трябва да бъдат съответно конвертирани. По този начин 10 сантиметра се равнява на 0, 1 метра и накрая: dx = 0, 1 метра.