Евклидова геометрия: история, основни понятия и примери

Евклидова геометрия съответства на изучаването на свойствата на геометричните пространства, където са изпълнени аксиомите на Евклид. Докато понятието понякога се използва, за да обхване геометриите, които имат по-добри размери с подобни свойства, то обикновено е синоним на класическа геометрия или плоска геометрия.

През трети век a. К. Евклид и неговите ученици написаха Елементите, произведение, което обхваща математическото познание на времето, снабдено с логически-дедуктивна структура. Оттогава геометрията се е превърнала в наука, първоначално за решаване на класически проблеми и еволюирала в формираща наука, която помага на разума.

история

За да започнем с историята на евклидовата геометрия, важно е да започнем с Евклид Александрийски и Елементи .

Когато Египет бил в ръцете на Птолемей I, след смъртта на Александър Велики, той започнал проекта си в едно училище в Александрия.

Сред мъдреците, които преподаваха в училище, беше Евклид. Предполага се, че неговото раждане датира приблизително от 325 а. C. и неговата смърт 265 години. В. Можем със сигурност да знаем, че той е отишъл в училището на Платон.

В продължение на повече от тридесет години Евклид преподава в Александрия, изграждайки своите известни елементи: той започва да пише изчерпателно описание на математиката на своето време. Ученията на Евклид произвеждат отлични ученици, като Архимед и Аполон от Перга.

Евклид е отговорен за структурирането на несъответстващите открития на класическите гърци в елементите, но за разлика от предшествениците си, той не се ограничава до това да твърди, че една теорема е вярна; Евклид предлага демонстрация.

Елементите са сборник от тринадесет книги. След Библията това е най-публикуваната книга с повече от хиляда издания.

Елементите са шедьовърът на Евклид в областта на геометрията и предлага окончателно третиране на геометрията на две измерения (равнина) и три измерения (пространството), като това е произходът на това, което сега знаем като евклидова геометрия,

Основни понятия

Елементите са съобразени с определения, общи понятия и постулати (или аксиоми), следвани от теореми, конструкции и демонстрации.

- Една точка е тази, която няма части.

- Линията е с дължина, която няма ширина.

- Права е тази, която лежи еднакво по отношение на точките, които са в нея.

- Ако се режат две линии, така че съседните ъгли да са равни, ъглите се наричат ​​прави и линиите се наричат ​​перпендикуляри.

- Паралелни линии са тези, които, като са в една и съща равнина, никога не са отрязани.

След тези и други дефиниции, Евклид представя списък от пет постулата и пет понятия.

Общи понятия

- Две неща, които са равни на една трета, са еднакви.

- Ако еднакви неща се добавят към едни и същи неща, резултатите са същите.

- Ако равните неща се извадят еднакви неща, резултатите са същите.

- Нещата, които съвпадат една с друга, са еднакви.

- Общата сума е по-голяма от част.

Постулати или аксиоми

- За две различни точки преминава един и само един ред.

- Правите линии могат да продължат безкрайно.

- Можете да нарисувате кръг с всеки център и радиус.

- Всички правилни ъгли са еднакви.

- Ако права линия пресече две прави линии, така че вътрешните ъгли на същата страна да добавят по-малко от два прави ъгъла, тогава двете прави линии ще се пресичат от тази страна.

Последният постулат е известен като постулат на паралелите и е преформулиран по следния начин: "За точка извън линия можем да начертаем един паралел на дадената линия".

Примери

След това, някои теореми на Елементите ще служат за показване на свойствата на геометричните пространства, където са изпълнени петте постулата на Евклид; В допълнение, те ще илюстрират логически-дедуктивното разсъждение, използвано от този математик.

Първи пример

Предложение 1.4. (LAL)

Ако два триъгълника имат две страни и ъгълът между тях е равен, тогава другите страни и другите ъгли са равни.

шоу

Нека ABC и A'B'C 'са два триъгълника с AB = A'B', AC = A'C 'и ъглите BAC и B'A'C' са равни. Преместете се в триъгълник A'B'C ', така че A'B' съвпада с AB и този ъгъл B'A'C 'съвпада с ъгъл BAC.

Тогава, линия А'С 'съвпада с линия АС, така че С' съвпада с C. Тогава, чрез постулат 1, линия ВС трябва да съвпада с линия В'С '. Следователно двата триъгълника съвпадат и следователно техните ъгли и страни са равни.

Втори пример

Предложение 1.5. ( Pons Asinorum )

Ако един триъгълник има две равни страни, тогава ъглите срещу тези страни са равни.

шоу

Да предположим, че триъгълникът ABC има равни страни AB и AC.

След това триъгълниците ABD и ACD имат две равни страни, а ъглите между тях са равни. По този начин, по предложение 1.4, ъглите ABD и ACD са равни.

Трети пример

Предложение 1.31

Можете да изградите линия, успоредна на линия, зададена от дадена точка.

строителство

Като се има предвид, че L и точка P, се прави права линия M, която минава през Р и пресича Л. Тогава права линия N се изтегля от Р, която се прекъсва до L. Сега линия N, която се пресича до М, се проследява чрез Р, образувайки ъгъл, равен на този, който L образува с M.

утвърждаване

N е успоредно на L.

шоу

Да предположим, че L и N не са успоредни и се пресичат в точка А. Нека B е точка в L отвъд A. Разгледайте линията O, която минава през B и P. Тогава O разрязва M образуващи ъгли, които добавят по-малко от две прави.

Тогава, с 1.5, линия O трябва да се реже на линия L от другата страна на M, така че L и O се пресичат в две точки, което противоречи на постулат 1. Следователно L и N трябва да са успоредни.