Алгебрично разсъждение (с решени упражнения)

Алгебричните разсъждения по същество се състоят в съобщаване на математически аргумент чрез специален език, който го прави по-строг и общ, използвайки алгебрични променливи и дефинирани операции помежду си. Характерна черта на математиката е логическата строгост и абстрактна тенденция, използвани в нейните аргументи.

За това е необходимо да се знае правилната "граматика", която трябва да се използва в този текст. В допълнение, алгебричните разсъждения избягват неясноти в оправданието на математическия аргумент, който е от съществено значение за демонстриране на някакъв резултат в математиката.

Алгебрични променливи

Алгебричната променлива е просто променлива (буква или символ), която представлява определен математически обект.

Например буквите x, y, z обикновено се използват за представяне на числата, които отговарят на дадено уравнение; буквите p, qr, за представяне на формули с предложения (или съответните им главни букви за представяне на конкретни предложения); и буквите A, B, X и т.н., които представляват множества.

Терминът "променлива" подчертава, че въпросният обект не е фиксиран, а варира. Такъв е случаят с уравнение, в което променливите се използват за определяне на решенията, които по принцип са неизвестни.

Най-общо казано, алгебричната променлива може да се разглежда като буква, която представлява някакъв обект, независимо дали е фиксиран или не.

Точно както алгебричните променливи се използват за представяне на математически обекти, ние също можем да считаме символите за представяне на математически операции.

Например символът "+" представлява операцията "сума". Други примери са различните символични нотации на логическата връзка, в случай на предложения и множества.

Алгебрични изрази

Алгебричен израз е комбинация от алгебрични променливи чрез предварително дефинирани операции. Примери за това са основните операции на събиране, изваждане, умножение и разделяне между числата или логическа връзка в предложения и множества.

Алгебричните разсъждения са отговорни за изразяване на аргументация или математически аргумент чрез алгебрични изрази.

Тази форма на изразяване помага да се опрости и съкрати писането, тъй като използва символични нотации и ни позволява да разберем по-добре разсъжденията, представяйки я по по-ясен и точен начин.

Примери

Нека видим някои примери, които показват как се използва алгебрично разсъждение. Много редовно се използва за решаване на логически и разсъждаващи проблеми, както ще видим скоро.

Разгледайте добре познатото математическо предложение "сумата от две числа е комутативна". Нека да видим как можем да изразим това твърдение алгебрично: дадени две числа "а" и "б", това, което означава това е, че a + b = b + a.

Разсъжденията, използвани за интерпретиране на първоначалното предложение и изразяването им в алгебрични термини, са алгебрични разсъждения.

Можем също да споменем известния израз "редът на факторите не променя продукта", който се отнася до факта, че произведението на две числа е също комутативно и алгебрично изразено като axb = bxa.

Аналогично, асоциативните и разпределителните свойства на сумата и на продукта могат да бъдат изразени (и в действителност са изразени) алгебрично, в които са включени изваждане и разделяне.

Този тип разсъждения обхващат много широк език и се използват в множество и различни контексти. В зависимост от всеки отделен случай, в тези контексти трябва да разпознаваме модели, да тълкуваме изявленията и да ги обобщаваме и формализираме в алгебрични термини, предоставяйки валидно и последователно разсъждение.

Решени упражнения

Следват някои логически проблеми, които ще решим с алгебрично разсъждение:

Първо упражнение

Какъв е броят, който чрез премахване на половината е равен на един?

разтвор

За да се реши този тип упражнения е много полезно да се представи стойността, която искаме да определим с помощта на променлива. В този случай искаме да намерим число, което чрез премахване на половината води до номер едно. Означаваме с x исканото число.

"За да се премахне половината" до число означава, че го разделяме на 2. Така горното може да се изрази алгебрично като x / 2 = 1 и проблемът се свежда до решаване на уравнение, което в този случай е линейно и много лесно за решаване. При изчистването на x се получава, че решението е x = 2.

В заключение 2 е числото, което при отстраняване на половината е равно на 1.

Второ упражнение

Колко минути липсват до полунощ, ако 10 минути липсваха 5/3 от това, което липсва сега?

разтвор

Означава с "z" броя на оставащите минути до полунощ (може да се използва всяка друга буква). Това означава, че точно сега "z" минути за полунощ липсват. Това означава, че 10 минути липсваха "z + 10" минути за полунощ и това съответства на 5/3 от това, което липсва сега; т.е., (5/3) z.

Тогава проблемът се редуцира, за да се реши уравнението z + 10 = (5/3) z. Умножавайки двете страни на равенството с 3, се получава уравнението 3z + 30 = 5z.

Сега, чрез групиране на променливата "z" от едната страна на равенството, получаваме, че 2z = 15, което означава, че z = 15.

Следователно 15 минути остават до полунощ.

Трето упражнение

В едно племе, което практикува бартер, има такива еквивалентности:

- Копието и огърлицата се заменят за щит.

- Копието е еквивалентно на нож и огърлица.

- Два щита се сменят за три ножа.

Колко яки е еквивалент на копие?

разтвор

Шон:

Co = огърлица

L = копие

Е = щит

Cu = нож

Тогава имаме следните връзки:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Така че проблемът се свежда до решаване на система от уравнения. Въпреки че има повече неизвестни от уравненията, тази система може да бъде решена, тъй като те не ни изискват конкретно решение, а една от променливите в зависимост от друга. Това, което трябва да направим, е да изразим "Co" във функция "L" изключително.

От второто уравнение имаме, че Cu = L - Co. Замествайки в третото, получаваме, че E = (3L - 3Co) / 2. Накрая, замествайки първото уравнение и опростявайки го, получаваме, че 5Co = L; това е, че копие е равно на пет яки.