Дистрибуции на дискретна вероятност: характеристики и упражнения

Дискретни разпределения на вероятности са функция, която присвоява на всеки елемент от X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...}, където X е дадена дискретна случайна величина и S е неговото пространство за проба, вероятността, че това събитие се случва. Тази функция f от X (S), дефинирана като f (xi) = P (X = xi), понякога се нарича функция на вероятностната маса.

Тази маса вероятности обикновено се представя като таблица. Тъй като X е дискретна случайна променлива, X (S) има краен брой събития или счетоводна безкрайност. Сред най-често срещаните дискретни разпределения на вероятностите имаме равномерно разпределение, биномното разпределение и разпределението на Поасон.

функции

Функцията за разпределение на вероятностите трябва да отговаря на следните условия:

Освен това, ако X приема само краен брой стойности (например x1, x2, ..., xn), тогава p (xi) = 0, ако i> ny, следователно, безкрайната серия от условие b става a крайни серии.

Тази функция отговаря и на следните свойства:

Нека B е събитие, свързано със случайната величина X. Това означава, че B се съдържа в X (S). По-конкретно, предположим, че B = {xi1, xi2, ...}. Ето защо:

С други думи, вероятността за събитие Б е равна на сумата от вероятностите на отделните резултати, свързани с Б.

От това можем да заключим, че ако a <b, събитията (X ≤ a) и (a <X ≤ b) са взаимно изключващи се и освен това, тяхното обединение е събитието (X ≤ b), така че имаме:

тип

Равномерно разпределение на n точки

Казва се, че случайна величина X следва разпределение, което се характеризира с това, че е равномерно в n точки, ако на всяка стойност е дадена една и съща вероятност. Функцията му за вероятностна маса е:

Да предположим, че имаме експеримент, който има два възможни резултата, той може да бъде хвърляне на монета, чиито възможни резултати са лицето или печата, или изборът на цяло число, чийто резултат може да бъде четен или нечетен брой; Този тип експеримент е известен като тестовете на Бернули.

Като цяло, двата възможни изхода се наричат ​​успех и неуспех, където p е вероятността за успех и 1-p това на неуспеха. Можем да определим вероятността за x успехи в n Бернули тестове, които са независими един от друг със следното разпределение.

Биномно разпределение

Именно тази функция представлява вероятността да се получат x успехи в n независими тестове на Бернули, чиято вероятност за успех е p. Функцията му за вероятностна маса е:

Следната графика представя функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на биномното разпределение.

Следното разпространение дължи името си на френския математик Симеон Поасон (1781-1840), който го е получил като граница на биномното разпределение.

Разпределение на Пуасон

Казано е, че случайна величина X има Poisson разпределение на параметър λ, когато може да приеме положителните цели стойности 0, 1, 2, 3, ... със следната вероятност:

В този израз λ е средният брой, съответстващ на събитията на събитието за всяка единица време, а x е броят пъти, в който събитието се случва.

Функцията му за вероятностна маса е:

След това, графика, която представя функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на разпределението на Поасон.

Имайте предвид, че докато броят на успехите е нисък и броят n на тестовете, извършени в биномното разпределение е висок, винаги можем да сближим тези разпределения, тъй като разпределението на Поасон е границата на биномното разпределение.

Основната разлика между тези две разпределения е, че докато биномът зависи от два параметъра, а именно n и p-то, само Poisson зависи от λ, което понякога се нарича интензивност на разпределението.

Досега говорихме само за разпределения на вероятности за случаите, в които различните експерименти са независими един от друг; това е, когато резултатът от едно не се влияе от някакъв друг резултат.

Когато се случват експерименти, които не са независими, хипергеометричното разпределение е много полезно.

Хипергеометрично разпределение

Нека N е общият брой обекти на крайно множество, от които можем по някакъв начин да идентифицираме ak от тях, като по този начин образуваме подмножество K, чието допълнение се формира от останалите Nk елементи.

Ако случайно изберем n обекта, случайната величина X, която представлява броят на обектите, принадлежащи на K в този избор, има хипергеометрично разпределение на параметри N, n и k. Функцията му за вероятностна маса е:

Следната графика представя функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на хипергеометричното разпределение.

Решени упражнения

Първо упражнение

Да предположим, че вероятността радио тръбата (поставена в определен вид оборудване) да работи повече от 500 часа е 0.2. Ако се тестват 20 тръби, каква е вероятността точно k от тях да работят повече от 500 часа, k = 0, 1.2, ..., 20?

разтвор

Ако X е броят на тръбите, които работят повече от 500 часа, ще приемем, че X има биномно разпределение. след това

И така:

За k≥11 вероятностите са по-малки от 0.001

Така можем да видим как вероятността тези k да работят повече от 500 часа се покачва, докато достигне максималната си стойност (с k = 4) и след това започва да намалява.

Второ упражнение

Монета се изхвърля 6 пъти. Когато резултатът е скъп, ще кажем, че той е успешен. Каква е вероятността точно да се появят две лица?

разтвор

За този случай имаме, че n = 6 и вероятността за успех и неуспех са p = q = 1/2

Следователно, вероятността за даване на две лица (т.е. k = 2) е от

Трето упражнение

Каква е вероятността да се намерят поне четири лица?

разтвор

За този случай имаме, че k = 4, 5 или 6

Трето упражнение

Да предположим, че 2% от изделията, произведени в една фабрика, са дефектни. Намерете вероятността Р, че има три дефектни елемента в извадка от 100 елемента.

разтвор

За този случай бихме могли да приложим биномното разпределение за n = 100 и p = 0.02, получавайки в резултат:

Въпреки това, тъй като p е малък, използваме приближението на Поасон с λ = np = 2. по този начин,