Теорема на Бернули: уравнението на Бернули, приложенията и разрешеното упражнение

Теоремата на Бернули, която описва поведението на движеща се течност, е изявена от математика и физика Даниел Бернули в своята хидродинамика . Според принципа, идеалната течност (без триене или вискозитет), която е в обращение от затворен тръбопровод, ще има постоянна енергия по пътя си.

Теоремата може да се изведе от принципа на запазване на енергията и дори от втория закон на Нютон за движение. В допълнение, принципът на Бернули също заявява, че увеличаването на скоростта на флуида означава намаляване на налягането, на което е подложено, намаляване на неговата потенциална енергия или и двете в същото време.

Теоремата има много различни приложения, както по отношение на света на науката, така и на ежедневието на хората.

Неговите последици са налице в силата на самолетите, в комите на домовете и промишлеността, във водопроводните тръби, наред с други области.

Уравнение на Бернули

Въпреки че Бернули е този, който заключи, че налягането намалява, когато скоростта на потока се увеличава, истината е, че именно Леонард Ейлер е разработил уравнението на Бернули във формата, в която е известна понастоящем.

Във всеки случай уравнението на Бернули, което не е нищо друго освен математически израз на неговата теорема, е следното:

v2 ƿ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g = z = константа

В този израз v е скоростта на течността през разглеждания участък, of е плътността на флуида, P е налягането на флуида, g е стойността на ускорението на гравитацията, а z е височината, измерена в посоката на тежестта.

В уравнението на Бернули се подразбира, че енергията на флуида се състои от три компонента:

- Кинетичен компонент, който е резултат от скоростта, с която се движи течността.

- Потенциален или гравитационен компонент, който се дължи на височината, на която се намира течността.

- Енергия под налягане, която притежава течността в резултат на налягането, на което е подложено.

От друга страна, уравнението на Бернули също може да бъде изразено по следния начин:

v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2

Този последен израз е много практичен за анализиране на промените, които един флуид изпитва, когато някой от елементите, които съставят уравнението, се променя.

Опростена форма

В някои случаи промяната в термина ρgz на уравнението на Бернули е минимална в сравнение с тази при другите термини, така че е възможно да се пренебрегне. Например, това се случва в теченията, които самолетът преживява в полет.

В тези случаи уравнението на Бернули се изразява по следния начин:

P + q = P 0

В този израз q е динамичното налягане и е равно на av 2 ∙ ƿ / 2, и P 0 е това, което се нарича общо налягане и е сумата от статичното налягане Р и динамичното налягане q.

приложения

Теоремата на Бернули има много и разнообразни приложения в различни области като наука, инженерство, спорт и др.

Интересно приложение е при проектирането на комини. Комините са изградени високо, за да се постигне по-голяма разлика в налягането между основата и изхода на комина, благодарение на което е по-лесно да се извличат горивните газове.

Разбира се, уравнението на Бернули се отнася и за изследването на движението на течните потоци в тръбите. От уравнението следва, че намаляването на напречното сечение на тръбата, за да се увеличи скоростта на флуида, преминаващ през него, също предполага намаляване на налягането.

Уравнението на Бернули се използва и в авиацията и в превозните средства от Формула 1. В случая с авиацията, ефектът на Бернули е произходът на поддръжката на самолети.

Крилата на въздухоплавателното средство са проектирани с цел постигане на по-голям въздушен поток в горната част на крилото.

Така, в горната част на крилото, скоростта на въздуха е висока и, следователно, по-ниското налягане. Тази разлика в налягането създава сила, насочена вертикално нагоре (сила на повдигане), която позволява на въздухоплавателните средства да се държат във въздуха. Подобен ефект се получава и при елероните на автомобили Формула 1.

Определено упражнение

Чрез тръба с напречно сечение от 4.2 cm2, поток от вода тече при 5.18 m / s. Водата се спуска от височина 9, 66 m до по-ниско ниво с височина нула, докато напречната повърхност на тръбата се увеличава до 7, 6 cm2.

а) Изчислете скоростта на водния поток на долното ниво.

b) Определете налягането в долното ниво, като знаете, че налягането в горното ниво е 152000 Ра.

разтвор

а) Тъй като потокът трябва да се запази, се изпълнява следното:

Q горно ниво = Q по-ниско ниво

v 1 S 1 = v 2 . S 2

5.18 m / s. 4.2 cm2 = v2. 7, 6 cm ^ 2

Изчистване, получавате, че:

v2 = 2.86 m / s

б) Прилагане на теоремата на Бернули между двете нива и като се има предвид, че плътността на водата е 1000 kg / m3, получаваме, че:

v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2

(1/2). 1000 kg / m3. (5, 18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m3. 10 m / s2. 9, 66 m =

= (1/2). 1000 kg / m3. (2, 86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m3. 10 m / s2. 0 m

Клиринг P 2 ще получите:

Р2 = 257926, 4 Ра