Теорема на Чебишов: в какво се състои, приложения и примери

Теоремата на Чебишов (или неравенството на Чебишов ) е един от най-важните класически резултати на теорията на вероятността. Тя позволява да се оцени вероятността на дадено събитие, описано в случай на случайна променлива X, като ни даде измерение, което не зависи от разпределението на случайната променлива, а от дисперсията на X.

Теоремата е наречена в чест на руския математик Пафнути Чебишов (също написан като Чебичев или Чебичев), който, въпреки че не е първият, който обяснява тази теорема, е първият, който дава демонстрация през 1867 година.

Това неравенство или тези, които по своите характеристики се наричат ​​неравенство на Чебишов, се използва главно за сближаване на вероятностите чрез изчисляване на размерите.

От какво се състои?

При изследването на теорията на вероятностите се случва, че ако знаем функцията на разпределение на случайна величина X, можем да изчислим очакваната му стойност - или математическото очакване E (X) - и нейната вариация Var (X), доколкото посочените суми съществуват. Въпреки това, реципрочността не е непременно вярна.

Това означава, че знаейки E (X) и Var (X) не е непременно възможно да получим функцията на разпределение на X, така че количества като P (| X |> k) за някои k> 0 са много трудни за получаване. Но благодарение на неравенството на Чебишов е възможно да се оцени вероятността на случайната променлива.

Теоремата на Чебишов ни казва, че ако имаме случайна променлива X на пробно пространство S с функция за вероятност p, и ако k> 0, тогава:

Приложения и примери

Сред многото приложения, които теоремата на Чебишов притежава, могат да се споменат следните:

Ограничаване на вероятностите

Това е най-честото приложение и се използва, за да се даде горна граница за P (| XE (X) | ≥k), където k> 0, само с дисперсията и очакването на случайната величина X, без да се знае функцията на вероятността.,

Пример 1

Да предположим, че броят на произвежданите продукти в една компания през седмицата е случайна величина със средна стойност от 50.

Ако знаем, че дисперсията на една седмица от производството е равна на 25, тогава какво можем да кажем за вероятността тази седмица производството да се различава с повече от 10 от средното?

разтвор

Прилагайки неравенството на Чебишов, трябва да:

От това може да се получи, че вероятността в седмицата на производство броят на статиите да надвишава над 10 до средната е най-много 1/4.

Демонстрация на граничните теореми

Неравенството на Чебишов играе важна роля в демонстрацията на най-важните пределни теореми. Като пример имаме следното:

Слаб закон на големи числа

Този закон установява, че дадена последователност X1, X2, ..., Xn, ... на независими случайни променливи със същото средно разпределение E (Xi) = μ и дисперсия Var (X) = σ2, и известна средна извадка от:

Тогава за k> 0 трябва да:

Или, еквивалентно:

шоу

Първо нека забележим следното:

Тъй като X1, X2, ..., Xn са независими, следва, че:

Следователно е възможно да се потвърди следното:

Тогава, използвайки теоремата на Чебишов, трябва да:

Накрая, теоремата произтича от факта, че границата вдясно е нула, когато n се стреми към безкрайност.

Трябва да се отбележи, че този тест е направен само за случая, при който съществува вариация на Xi; това не означава, че не се различава. По този начин наблюдаваме, че теоремата винаги е вярна, ако съществува Е (Xi).

Ограничителната теорема на Чебишов

Ако X1, X2, ..., Xn, ... е последователност от независими случайни променливи, така че има някои C0:

шоу

Тъй като последователността на дисперсиите е еднакво ограничена, имаме Var (Sn) ≤ C / n за всички естествени n. Но знаем, че:

Чрез насочването на n към безкрайността, следните резултати:

Тъй като вероятността не може да надвишава стойността 1, се получава желания резултат. Като следствие от тази теорема можем да споменем конкретния случай на Бернули.

Ако един експеримент се повтаря n пъти независимо с два възможни резултата (неуспех и успех), където p е вероятността за успех във всеки експеримент и X е случайната променлива, представляваща броя на успехите, получени, тогава за всеки k> 0 трябва да:

Размер на пробата

От гледна точка на дисперсията, неравенството на Чебишов ни позволява да намерим размер на извадката n, който е достатъчен, за да гарантираме, че вероятността, че | Sn-μ | към средната стойност.

Нека X1, X2, ... Xn да са извадка от независими случайни величини с размер n и E (Xi) = μ и неговата дисперсия σ2. Тогава, поради неравенството на Чебишов, трябва да:

пример

Да предположим, че X1, X2, ... Xn са извадка от независими случайни променливи с разпределение на Бернули, така че те приемат стойността 1 с вероятност p = 0.5.

Какъв трябва да бъде размерът на пробата, за да може да се гарантира, че вероятността разликата между средната аритметична стойност Sn и очакваната й стойност (която надвишава повече от 0, 1) е по-малка или равна на 0., 01?

разтвор

Имаме, че E (X) = μ = p = 0.5 и Var (X) = σ2 = p (1-p) = 0.25. За неравенството на Чебишов, за всяко k> 0 трябва да:

Сега, приемайки k = 0.1 и δ = 0.01, трябва да:

По този начин се прави заключението, че е необходим размер на пробата най-малко 2500, за да се гарантира, че вероятността на събитието | Sn - 0.5 |> = 0.1 е по-малка от 0.01.

Неравенства тип Чебишов

Съществуват различни неравенства, свързани с неравенството на Чебишов. Едно от най-известните е Марковското неравенство:

В този израз X е неотрицателна случайна променлива с k, r> 0.

Марковското неравенство може да приеме различни форми. Например, нека Y да е неотрицателна случайна променлива (така P (Y> = 0) = 1) и да предположим, че съществува E (Y) = μ. Да предположим също, че (E (Y)) r = μ r съществува за някакво цяло число r> 1. след това:

Друго неравенство е това на Гаус, което ни подсказва, че дадена унимодална случайна величина X с режим при нула, тогава за k> 0,