Октална система: история, система за номерация и конверсии

Осмичната система е система за позиционна номерация на осма осем (8); то се състои от осем цифри, които са: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Следователно всяка цифра от осмичното число може да има всяка стойност от 0 до 7. Окталните числа те се формират от двоичните числа.

Това е така, защото неговата основа е точна сила от две (2). Това означава, че числата, които принадлежат на осмичната система, се формират, когато те са групирани в три последователни цифри, подредени от дясно на ляво, получавайки по този начин тяхната десетична стойност.

история

Осмичната система произхожда от древността, когато хората използват ръцете си, за да преброят осем до осем животни.

Например, за да се преброи броят на кравите в плевнята, един започна да разчита на дясната ръка, свързвайки палеца с малкия пръст; след това, за да преброи второто животно, палецът се съединява с показалеца и така нататък с останалите пръсти на всяка ръка, докато завърши 8.

Съществува вероятност в древни времена осмичната система за номериране да се използва преди десетичната запетая, за да може да се преброяват междупръстените пространства; броят на пръстите, с изключение на палците.

Впоследствие беше създадена осмичната система за номериране, която произхожда от двоичната система, тъй като има нужда от много цифри, за да представлява само един номер; От този момент нататък са създадени осмоъгълни и шестоъгълни системи, които не изискват толкова много цифри и могат лесно да бъдат преобразувани в двоичната система.

Октална система за номериране

Осмичната система се състои от осем цифри, вариращи от 0 до 7. Те имат същата стойност, както в случая на десетичната система, но тяхната относителна стойност се променя в зависимост от позицията, която заемат. Стойността на всяка позиция се дава от базовите правомощия 8.

Позициите на цифрите в осмичното число имат следните тегла:

84, 83, 82, 81, 80, осмична точка, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5.

Най-голямата осмична цифра е 7; по този начин, когато се преброява тази система, едноцифровата позиция се увеличава от 0 до 7. Когато достигне 7, тя се рециклира до 0 за следващия брой; по този начин следващата позиция на цифрата се увеличава. Например, за да преброите последователностите, в осмичната система тя ще бъде:

  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
  • 53, 54, 55, 56, 57, 60.
  • 375, 376, 377, 400.

Съществува фундаментална теорема, която се прилага към осмичната система и се изразява, както следва:

В този израз d представлява цифрата, умножена по базовата мощност 8, която показва позиционната стойност на всяка цифра, по същия начин, по който е подредена в десетичната система.

Например, имате номер 543.2. За да го отведете до осмичната система, тя се разлага по следния начин:

N = Σ [(5 * 82) + (4 * 81) + (3 * 80) + (2 * 8-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + ( 2 * 0.125)

N = 320 + 32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25 d

По този начин имате 543.2 q = 354.25 d . Индексът q показва, че това е осмично число, което може да бъде представено и с числото 8; и индексът d се отнася за десетичното число, което също може да бъде представено с числото 10.

Преобразуване на осмичната система в десетична

За да конвертирате осмичен системен номер в еквивалент в десетичната система, трябва да умножите всяка осмична цифра по нейната стойност на мястото, започвайки от дясно.

Пример 1

732 8 = (7 * 82) + (3 * 81) + (2 * 80) = (7 * 64) + (3 * 8) + (2 * 1)

732 8 = 448 + 24 + 2

732 8 = 474 10

Пример 2

26.9 8 = (2 * 81) + (6 * 80) + (9 * 8-1) = (2 * 8) + (6 * 1) + (9 * 0.125)

26, 9 = 16 + 6 + 1, 125

26, 9 8 = 23, 125 10

Преобразуване на десетичната система в осмичната

Десетично число може да се преобразува до осмично число, като се използва методът на многократно разделяне, където десетичното цяло число се дели на 8, докато коефициентът е равен на 0, а остатъците на всяко разделение ще представляват осмичното число.

Отпадъците се сортират от последно до първо; това означава, че първият остатък ще бъде най-маловажната цифра на осмичното число. По този начин най-значимата цифра ще бъде последният остатък.

пример

Октална част от десетичното число 266 10

- Разделете десетичното число 266 между 8 = 266/8 = 33 + остатък от 2.

- След това 33 се разделя на 8 = 33/8 = 4 + остатък от 1.

- Разделете 4 на 8 = 4/8 = 0 + остатъка от 4.

Тъй като при последното разделение се получава коефициент по-малък от 1, това означава, че резултатът е намерен; само останките трябва да бъдат подредени в обратен ред, така че осмичното число на десетичната запетая 266 е 412, както може да се види от следното изображение:

Преобразуване на осмичната система в двоичната

Превръщането на осмичната система в двоична се извършва чрез превръщане на осмичната цифра до нейната еквивалентна двоична цифра, образувана от три цифри. Има таблица, която показва как се преобразуват осемте възможни цифри:

От тези преобразувания, всяко число от осмичната система към двоичната може да бъде променено, например, за да се преобразува числото 572, 8 неговите еквиваленти се търсят в таблицата. Така че трябва да:

5 = 101

7 8 = 111

2 8 = 10

Следователно, 572 8 е еквивалентно в двоичната система на 10111110.

Преобразуване на двоичната система в осмичната

Процесът на конвертиране на двоични числа в осмични цели е обратната операция на предишния процес.

Това означава, че битовете на двоичното число са групирани в две групи по три бита, започвайки от дясно на ляво. След това бинарната до осмичната конверсия се прави с предишната таблица.

В някои случаи двоичното число няма да има групи от 3 бита; за да го завършат, един или два нула се добавят вляво от първата група.

Например, за да промените двоичното число 11010110 на осмичното, се прави следното:

- Групите от 3 бита се формират отдясно (последния бит):

11010110

- Тъй като първата група е непълна, към лявата страна се добавя нула:

011010110

- Конвертирането се извършва от таблицата:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Така, двоичното число 011010110 е еквивалентно на 326 8 .

Преобразуване на осмичната система в шестнадесетична и обратно

За да направите промяната от осмично число до шестнадесетичната система или от шестнадесетична до осмична, е необходимо номерът първо да бъде преобразуван в двоичен, а след това в желаната система.

За това има таблица, където всяка шестнадесетична цифра е представена с неговата еквивалентност в двоичната система, състояща се от четири цифри.

В някои случаи двоичното число няма да има групи от 4 бита; За да го завършите, добавете една или две нули вляво от първата група

пример

Преобразуване на осмичното число 1646 в шестнадесетичен номер:

- Числото от осмичното до двоичното се преобразува

1 8 = 1

6 8 = 110

4 8 = 100

6 8 = 110

- Така, 1646 8 = 1110100110.

- За да конвертирате от двоичен в шестнадесетичен, те първо се подреждат в 4-битова група, започвайки от дясно на ляво:

11 1010 0110

- Първата група се допълва с нули, така че може да има 4 бита:

0011 1010 0110

- Конвертирането на двоичната система в шестнадесетичната се извършва. Еквивалентността се заменя с помощта на таблицата:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

По този начин осмичното число 1646 е еквивалентно на 3A6 в шестнадесетичната система.