Приказки от теорията на Милет: първо, второ и примери

Първата и втората теорема на Tales of Miletus се основават на определяне на триъгълници от други подобни (първа теорема) или окръжности (втора теорема). Те са много полезни в различни области. Например, първата теорема се оказа много полезна за измерване на големи структури, когато нямаше усъвършенствани измервателни уреди.

Талес от Милет е гръцки математик, който дава голям принос към геометрията, от които се открояват тези две теореми (в някои текстове също го пишат като Талес) и техните полезни приложения. Тези резултати са използвани през цялата история и са позволили решаването на голямо разнообразие от геометрични проблеми.

Първа теорема на приказките

Първата теорема на Tales е много полезен инструмент, който, наред с други неща, позволява да се изгради триъгълник, подобен на друг, познат преди. От това са извлечени различни версии на теоремата, които могат да бъдат приложени в множество контексти.

Преди да дадете своето изявление, запомнете някои понятия за сходство на триъгълниците. По същество два триъгълника са сходни, ако техните ъгли са еднакви (те имат една и съща мярка). Това води до факта, че ако два триъгълника са сходни, съответните им страни (или хомолози) са пропорционални.

Първата теорема на Талес посочва, че ако в даден триъгълник е направена права линия, успоредна на някоя от неговите страни, полученият нов триъгълник ще бъде подобен на първоначалния триъгълник.

Също така получавате връзка между образуваните ъгли, както се вижда на следващата фигура.

приложение

Сред многобройните му приложения се откроява една от особените интереси и е свързана с един от начините, по които измерванията са правени от големи структури в древността, времето, в което Талес е живял и в които съвременните измервателни уреди не са налични. Те съществуват сега.

Казва се, че по този начин Талес е успял да измери най-високата пирамида в Египет, Хеопс. За това Талес предполагаше, че отраженията на слънчевите лъчи докосват земята, образувайки паралелни линии. При това предположение, той заби палка или бастун вертикално в земята.

След това той използва сходството на двата получени триъгълника, един от дължината на сянката на пирамидата (която лесно може да се изчисли) и височината на пирамидата (неизвестното), а другата, образувана от дължините на сянката. и височината на пръта (който също може лесно да се изчисли).

Използвайки пропорционалността между тези дължини, можете да изчистите и да знаете височината на пирамидата.

Въпреки че този метод на измерване може да даде значителна грешка на апроксимация по отношение на точността на височината и зависи от паралелността на слънчевите лъчи (което от своя страна зависи от точното време), трябва да признаем, че това е много умна идея. и това е добра алтернатива на измерването за времето.

Примери

Намерете стойността на x във всеки случай:

разтвор

Тук имаме две линии, изрязани от две успоредни линии. При първата теорема на Талес е дадено, че съответните им страни са пропорционални. По-специално:

разтвор

Тук имаме два триъгълника, единият от които е образуван от сегмент, успореден на една от страните на другата (точно страната на дължината х). По първата теорема на Tales трябва да:

Втора теорема за приказките

Втората теорема на Талес определя правоъгълен триъгълник, вписан в обиколката във всяка точка на същото.

Триъгълник, вписан в обиколката, е триъгълник, чиито върхове са върху обиколката и по този начин се съдържат в това.

По-конкретно, втората теорема на Талес съобщава следното: като се има предвид окръжност от център О и диаметър АС, всяка точка В на обиколката (различна от А и С) определя правоъгълен триъгълник ABC, с прав ъгъл

Като обосновка трябва да се отбележи, че и OA и OB и OC съответстват на радиуса на окръжността; следователно техните измервания са еднакви. От там се получава, че триъгълниците OAB и OCB са равнобедрени, където

Известно е, че сумата на ъглите на триъгълника е равна на 180º. Използвайки това с триъгълник ABC, трябва да:

2b + 2a = 180º.

Еквивалентно имаме, че b + a = 90º и b + a =

Забележете, че правоъгълен триъгълник, предоставен от втората теорема на Талес, е точно тази, чиято хипотенуза е равна на диаметъра на периферията. Следователно тя е напълно определена от полукръг, който съдържа точките на триъгълника; в този случай горният полукръг.

Отбележете също, че в правоъгълния триъгълник, получен чрез втората теорема на Талес, хипотенузата се разделя на две равни части от ОА и ОС (радиуса). На свой ред, тази мярка е равна на сегмента OB (също и радиуса), който съответства на медианата на триъгълника ABC от B.

С други думи, дължината на медианата на правоъгълния триъгълник ABC, съответстваща на върха B, е напълно определена от половината от хипотенузата. Припомнете си, че медианата на триъгълник е сегментът от един от върховете до средата на противоположната страна; в този случай, сегмент BO.

Окръжена обиколка

Друг начин да се види втората теорема на Талес е чрез кръг, очертан към прав триъгълник.

По принцип, окръжност, ограничена до многоъгълник, се състои от обиколката, която преминава през всеки от нейните върхове, когато е възможно да се проследи.

Използвайки втората теорема на Талес, дадена правоъгълен триъгълник, винаги можем да конструираме окръжност, ограничена до това, с радиус, равен на половината от хипотенузата и окръжността (центъра на окръжността), равна на средата на хипотенузата.

приложение

Много важно приложение на втората теорема на Талес, и може би най-използваната, е да се намерят допирателните линии към дадена обиколка, чрез точка Р, външна на тази (известна).

Наблюдавайте, че при дадена обиколка (начертана в синьо на фигурата по-долу) и външна точка Р, има две линии, допиращи се до обиколката, които преминават през Р. Нека Т и Т 'са точките на допирност, r радиуса на обиколката и Или в центъра.

Известно е, че сегментът, който преминава от центъра на окръжността до точка на допиране на него, е перпендикулярна на тази допирателна линия. След това ъгълът на OTP е прав.

От това, което видяхме по-рано в първата теорема на Талес и неговите различни версии, виждаме, че е възможно да се впише триъгълникът на ОТ в друга обиколка (в червено).

По подобен начин се получава, че триъгълникът OT'P може да бъде вписан в същата предишна обиколка.

Съгласно втората теорема на Талес, също така получаваме, че диаметърът на тази нова обиколка е точно хипотенузата на триъгълника OTP (който е равен на хипотенузата на триъгълника OT'P), а центърът е средата на тази хипотенуза.

За да изчислим центъра на новата обиколка, тогава е достатъчно да изчислим средната точка между центъра - например М - на началната обиколка (която вече знаем) и точката Р (която също знаем). Тогава радиусът ще бъде разстоянието между тази точка M и P.

С радиуса и центъра на червения кръг можем да намерим своето декартово уравнение, което помним, че е дадено от (xh) 2 + (yk) 2 = c2, където c е радиусът, а точката (h, k) е център на окръжността.

Знаейки сега уравненията на двете окръжности, можем да ги пресечем, като решим системата от уравнения, образувани от тях, и по този начин да получим точките на допирност T и T '. Накрая, за да знаем желаните допирателни линии, е достатъчно да намерим уравнението на линиите, които преминават през T и P, и с T 'и P.

пример

Помислете за обиколка с диаметър AC, център O и радиус 1 cm. Нека B е точка на обиколката, така че AB = AC. Колко струва АВ?

разтвор

По втората теорема на Талес имаме, че триъгълникът АВС е правоъгълник, а хипотенузата съответства на диаметъра, който в този случай измерва 2 cm (радиусът е 1 cm). Тогава, от Питагоровата теорема трябва да: