Закони на Морган

Очите на Морган са правила за извод, използван в логиката на предложението, които установяват това, което е резултат от отричане на дизюнкция и конюнкция на предложения или пропорционални променливи. Тези закони са дефинирани от математика Август Де Морган.

Законите на Морган представляват много полезен инструмент за демонстриране на валидността на математическото разсъждение. По-късно те бяха обобщени в концепцията за множествата от математика Джордж Бул.

Това обобщение, направено от Бул, е напълно еквивалентно на първоначалните закони на Морган, но е разработено специално за множества, а не за предложения. Това обобщение е известно още като законите на Морган.

Преглед на логиката на предложението

Преди да разгледаме какви са законите на Морган и как те се използват, е удобно да си спомним някои основни понятия от логиката на предложението. (За повече подробности вж. Статията за предложението).

В областта на математическата (или предложената) логика изводът е извод, който се излъчва от набор от предпоставки или хипотези. Това заключение, заедно с гореспоменатите предпоставки, води до това, което е известно като математическо разсъждение.

Това разсъждение трябва да може да бъде демонстрирано или отхвърлено; тоест, че не всички изводи или заключения в математическото разсъждение са валидни.

заблуда

Погрешното заключение, излъчвано от някои предположения, за които се приема, че е вярно, е известно като заблуда. Склонностите имат особеността да бъдат аргументи, които изглеждат правилни, но математически не са.

Пропозиционната логика отговаря за точното разработване и предоставяне на методи, чрез които човек може, без никаква двусмисленост, да потвърди или опровергае математическото разсъждение; това означава, че заключението е валидно от помещенията. Тези методи са известни като правила на извод, от които законите на Морган са част.

предложения

Съществените елементи на логиката на предложението са твърдения. Предложения са изявления, за които може да се каже дали са валидни или не, но че не могат да бъдат истинни или фалшиви едновременно. Не трябва да има неясноти по този въпрос.

Точно както числата могат да бъдат комбинирани чрез операции на събиране, изваждане, умножение и деление, предложенията могат да се управляват с помощта на познатата съединителна (или съединителна) логика: отрицание (, "не"), дизюнкция (V), "O"), връзка (", " и "), условна (→, " ако ..., след това ... ") и биконкурентна (, " да, и само ако ").

За да работим по-общо, вместо да разглеждаме конкретни твърдения, ние разглеждаме променливите променливи, които представляват всякакви предложения, и обикновено се обозначават с малки букви p, q, r, s и т.н.

Пропозитивната формула е комбинация от пропорционални променливи чрез някаква логическа връзка. С други думи, това е състав на предложения. Те обикновено се обозначават с гръцки букви.

Казано е, че една формулировка на предложението логично предполага друго, когато последното е вярно всеки път, когато първата е вярна. Това се обозначава с:

Когато логическата импликация между две формулировки е реципрочна - когато предишното импликация е валидна и в обратна посока - се казва, че формулите са логически еквивалентни и се обозначават с

Логическата еквивалентност е един вид равенство между формулираните предложения и позволява да бъде заменен от другия, когато е необходимо.

Закони на Морган

Законите на Морган се състоят от две логически еквивалентности между две предложения:

Тези закони позволяват да се раздели отрицанието на дизюнкцията или конюнкцията като отрицания на участващите променливи.

Първият може да се чете по следния начин: отрицанието на дизюнкция е равно на конюнкцията на отрицанията. А втората чете така: отрицанието на конюнкция е разкъсване на отрицанията.

С други думи, отричането на дизюнкцията на две променливи променливи е еквивалентно на конюнкцията на отрицанията на двете променливи. По същия начин, да се отрече конюнкцията на две пропорционални променливи е еквивалентна на дизюнкцията на отрицанията на двете променливи.

Както бе споменато по-рано, заместването на тази логическа еквивалентност помага да се демонстрират важни резултати, заедно с другите съществуващи правила за извеждане. С тях можете да опростите много формули, така че те да са по-полезни за работа.

Следното е пример за математическо доказателство, използващо правила на извод, сред законите на Морган. По-конкретно е показано, че формулата:

е еквивалентно на:

Последното е по-лесно за разбиране и развитие.

шоу

Заслужава да се отбележи, че валидността на законите на Морган може да бъде демонстрирана математически. Един от начините е да сравните вашите таблици с истини.

комплекти

Същите правила за извеждане и понятията за логика, приложени към предложения, също могат да бъдат разработени по отношение на множества. Това е така наречената булева алгебра, след математика Джордж Бул.

За да се разграничат случаите, е необходимо да се променят нотациите и прехвърлянето към множества, всички понятия, които вече се виждат от логиката на предложението.

Наборът е колекция от обекти. Множествата се обозначават с главни букви А, В, С, Х, ... и елементите на множеството се обозначават с малки букви а, б, в, х и т.н. Когато елемент a принадлежи на набор X, той се обозначава с:

Когато не принадлежи на X, нотацията е:

Начинът за представяне на комплектите е поставянето на техните елементи в ключовете. Например, наборът от естествени числа се представя чрез:

Комплектите могат да бъдат представени и без да се изписва изричен списък на техните елементи. Те могат да бъдат изразени във формата {:}. Двете точки се четат "така, че". Променлива, представляваща елементите на множеството, се поставя отляво на двете точки, а собствеността или условието, което те удовлетворяват, се поставят от дясната страна. Това е:

Например наборът от числа, по-големи от -4, може да се изрази като:

Или еквивалентно и по-съкратено, като:

По същия начин следните изрази представляват съответно набори от четни и нечетни числа:

Съюз, пресичане и допълнения на множества

След това ще видим аналозите на логическата връзка в случая на множества, които са част от основните операции между множествата.

Съюз и пресечка

Съединението и пресечната точка на множествата се определят съответно по следния начин:

Например разгледайте множествата:

След това трябва да:

допълнение

Допълнението на множеството се формира от елементите, които не принадлежат към този набор (от същия тип, който представлява оригиналът). Допълнението на множеството А се обозначава с:

Например, в рамките на естествените числа, допълнението на множеството от четни числа е това на нечетните числа и обратно.

За да се определи допълнението на множеството, от самото начало трябва да се изясни универсалният или основният набор от елементи, които се разглеждат. Например, не е равносилно да се разглежда допълването на множеството върху естествените числа, които са на рационалните.

Следващата таблица показва връзката или аналогията, която съществува между операциите по предварително дефинирани множества и съединителните елементи на логиката на предложението: