Дискретна математика: какво служат, теория на множествата
Дискретната математика съответства на област от математиката, която отговаря за изучаването на множеството естествени числа; това е множеството от крайни и безкрайни броени числа, където елементите могат да се броят отделно, един по един.
Тези набори са известни като дискретни набори; Пример за тези набори са цели числа, графики или логически изрази и се прилагат в различни области на науката, главно в областта на компютърните технологии.
описание
В дискретни математически процеси са броени, базирани на цели числа. Това означава, че десетичните числа не се използват и следователно сближаването или ограниченията не се използват, както в други области. Например, едно неизвестно може да бъде равно на 5 или 6, но никога 4.99 или 5.9.
От друга страна, в графичното представяне променливите ще бъдат дискретни и се дават от краен набор от точки, които се преброяват един по един, както се вижда на изображението:
Дискретната математика се ражда от необходимостта да се получи точно проучване, което може да се комбинира и тества, за да се приложи в различни области.
Каква е употребата на дискретна математика?
Дискретна математика се използва в множество области. Сред основните са следните:
комбинаторен
Проучете крайните набори, където елементите могат да бъдат поръчани или комбинирани и преброени.
Теория на дискретното разпределение
Проучване на събития, които се случват в пространства, където пробите могат да се броят, в които непрекъснатите разпределения се използват за апроксимиране на дискретни разпределения, или обратното.
Теория на информацията
Тя се отнася до кодирането на информация, използвана за проектирането и предаването и съхранението на данни, като например аналогови сигнали.
изчислителен
Чрез дискретни математически проблеми се решават с помощта на алгоритми, както и изучаване на това какво може да се изчисли и времето, необходимо за това (сложност).
Значението на дискретната математика в тази област се е увеличило през последните десетилетия, особено за развитието на програмни езици и софтуер .
криптографията
Тя се основава на дискретна математика за създаване на структури за сигурност или методи за криптиране. Пример за това приложение са паролите, изпращащи отделно битове, които съдържат информация.
Чрез изследването на свойствата на числа и прости числа (теория на числата) могат да се създадат или унищожат тези методи за сигурност.
логика
Използват се дискретни структури, които обикновено образуват краен набор, за да се докажат теореми или например да се провери софтуерът.
Теория на графиките
Тя позволява разрешаването на логически проблеми, като използва възли и линии, които формират вид на графиката, както е показано в следното изображение:
Това е област, тясно свързана с дискретна математика, защото алгебричните изрази са дискретни. Чрез него се разработват електронни схеми, процесори, програмиране (булева алгебра) и бази данни (релационна алгебра).
геометрия
Проучете комбинаторните свойства на геометричните обекти, като покритието на равнината. От друга страна, изчислителната геометрия дава възможност да се разработят геометрични проблеми чрез прилагане на алгоритми.
Теория на множествата
В дискретни математически множества (крайни и безкрайни числа) са основната цел на изследването. Теорията на множествата е публикувана от Джордж Кантор, който показва, че всички безкрайни множества имат еднакъв размер.
Наборът е група от елементи (числа, неща, животни и хора, между другото), които са добре дефинирани; т.е. има връзка, съгласно която всеки елемент принадлежи на множеството и се изразява например в ∈ A.
В математиката има различни набори, които групират определени числа според техните характеристики. Така например имате:
- Набор от естествени числа N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.
- Набор от цели числа E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.
- Подмножество на рационални числа Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.
- Набор от реални числа R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.
Наборите се наименуват с букви от азбуката, главни; докато елементите се наименуват с малки букви, вътре в скоби ({}) и разделени със запетаи (, ). Те обикновено са представени в диаграми като Venn и Caroll, както и изчислителни.
При основни операции като съюз, пресичане, допълване, разлика и декартово произведение, множествата и техните елементи се управляват въз основа на отношението на принадлежност.
Има няколко вида набори, най-изучавани в дискретна математика са следните:
Краен комплект
Това е такъв, който има ограничен брой елементи и съответства на естествено число. Така например, A = {1, 2, 3, 4} е краен набор, който има 4 елемента.
Безкраен счетоводен комплект
Тя е тази, в която има съответствие между елементите на множеството и естествените числа; което означава, че от един елемент всички елементи на множеството могат да бъдат изброени последователно.
По този начин всеки елемент ще съответства на всеки елемент от множеството естествени числа. Например:
Множеството от цели числа Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} могат да бъдат посочени като Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. По този начин е възможно да се направи едно към едно съответствие между елементите на Z и естествените числа, както е показано на следното изображение:
Това е метод, използван за решаване на непрекъснати задачи (модели и уравнения), които трябва да се преобразуват в дискретни задачи, в които решението е известно с приближаването на решението на непрекъснатия проблем.
Погледнато по друг начин, дискретизацията се опитва да извлече крайна величина от безкрайно множество от точки; по този начин непрекъснатото звено се трансформира в отделни единици.
Обикновено този метод се използва при числен анализ, например при решаване на диференциално уравнение, посредством функция, представена от краен обем данни в своята област, дори когато е непрекъснат.
Друг пример за дискретизация е използването му за преобразуване на аналогов сигнал в цифров, когато непрекъснатите единици на сигнала се преобразуват в отделни единици (те са дискретизирани) и след това се кодират и квантуват за получаване на цифров сигнал.
