Какви са едновременните уравнения? (с решени упражнения)

Едновременните уравнения са тези уравнения, които трябва да бъдат изпълнени едновременно. Следователно, за да имаме едновременни уравнения, трябва да имаме повече от едно уравнение.

Когато имате две или повече различни уравнения, които трябва да имат едно и също решение (или същите решения), вие казвате, че имате система от уравнения или казвате, че имате едновременни уравнения.

Когато имате едновременни уравнения, може да се случи, че те нямат общи решения или имат ограничено количество или имат безкрайно количество.

Едновременни уравнения

Като се имат предвид две различни уравнения Eq1 и Eq2, имаме, че системата на тези две уравнения се нарича едновременни уравнения.

Едновременните уравнения изпълняват, че ако S е решение на Eq1, то S също е решение на уравнение 2 и обратно

функции

Когато става въпрос за система от едновременни уравнения, можете да имате 2 уравнения, 3 уравнения или N уравнения.

Най-често използваните методи за решаване на едновременни уравнения са: заместване, изравняване и редукция. Съществува и друг метод, наречен правило на Крамер, който е много полезен за системи с повече от две едновременни уравнения.

Пример за едновременни уравнения е системата

Eq1: x + y = 2

Уравнение 2: 2x-y = 1

Може да се отбележи, че х = 0, у = 2 е решение на уравнение 1, но то не е решение на уравнение 2.

Единственото общо решение, което и двете уравнения имат, е x = 1, y = 1. Това означава, че x = 1, y = 1 е решението на системата от едновременни уравнения.

Решени упражнения

След това продължете да решавате системата от едновременни уравнения, показани по-горе, чрез трите споменати метода.

Първо упражнение

Решете системата от уравнения Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1, използвайки метода на заместване.

разтвор

Методът на заместване се състои в изчистване на една от неизвестните в едно от уравненията и след това за замяна в другото уравнение. В този конкретен случай можете да изчистите «y» от Eq1 и ще получите, че y = 2-x.

Подменяйки тази стойност на «y» в уравнение 2, се получава, че 2x- (2-x) = 1. Следователно, получаваме, че 3x-2 = 1, т.е. x = 1.

След това, тъй като стойността на x е известна, тя се замества в "y" и се получава y = 2-1 = 1.

Следователно единственото решение на системата от едновременни уравнения Eq1 и Eq2 е x = 1, y = 1.

Второ упражнение

Решете системата от уравнения Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 като използвате метода на изравняване.

разтвор

Изравнителният метод се състои в изчистване на един и същ въпрос от двете уравнения и след това изравняване на получените уравнения.

Изчиствайки "x" от двете уравнения, получаваме, че x = 2-y и x = (1 + y) / 2. Сега тези две уравнения се приравняват и получаваме, че 2-у = (1 + у) / 2, където се оказва, че 4-2y = 1 + y.

Групирането на неизвестното "y" на същата страна води до y = 1. Сега, когато знаем "и", продължаваме да откриваме стойността на "х". Като заменим y = 1, получаваме, че x = 2-1 = 1.

Следователно общото решение между уравнения Eq1 и Eq2 е x = 1, y = 1.

Трето упражнение

Решете системата от уравнения Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1, използвайки редукционния метод.

разтвор

Методът на редукция се състои в умножаване на уравненията, дадени от подходящите коефициенти, така че при добавяне на тези уравнения една от променливите се анулира.

В този конкретен пример не е необходимо да умножавате нито едно уравнение с коефициент, просто ги добавете заедно. При добавяне на Eq1 плюс Eq2 получаваме, че 3x = 3, от което получаваме, че x = 1.

Когато се оценява x = 1 в ур. 1, получаваме, че 1 + y = 2, откъдето се оказва, че y = 1.

Следователно, x = 1, y = 1 е единственото решение на едновременните уравнения Eq1 и Eq2.

Четвърто упражнение

Решете системата от едновременни уравнения Eq1: 2x-3y = 8 и уравнение 2: 4x-3y = 12.

разтвор

В това упражнение не се изисква конкретен метод, затова може да се приложи най-удобния за всеки читател метод.

В този случай ще се използва методът за редукция. Умножаването на Eq1 с -2 дава уравнението равно на: -4x + 6y = -16. Сега добавянето на Eq3 и Eq2 дава 3y = -4, следователно y = -4 / 3.

Сега, когато се оценява y = -4 / 3 в Eq1, получаваме, че 2x-3 (-4/3) = 8, където 2x + 4 = 8, следователно, x = 2.

В заключение, единственото решение на системата от едновременни уравнения Eq1 и Eq2 е x = 2, y = -4 / 3.

наблюдение

Методите, описани в тази статия, могат да бъдат приложени към системи с повече от две едновременни уравнения.

Колкото повече има уравнения и повече неизвестни, процедурата за решаване на системата е по-сложна.

Всеки метод за решаване на системи от уравнения ще даде същите решения, т.е. решенията не зависят от прилагания метод.