Какви видове интеграли има?
Типовете интеграли, които намираме в изчислението, са: неопределени интеграли и дефинирани интеграли. Въпреки че определените интеграли имат много повече приложения от неопределени интеграли, първо е необходимо да се научите да решавате неопределени интеграли.
Едно от най-привлекателните приложения на определени интеграли е изчисляването на обема на твърда революция.
И двата типа интеграли имат едни и същи свойства на линейност, а интеграционните техники не зависят от типа интеграл.
Но въпреки че е много подобна, има основна разлика; в първия тип интеграл резултатът е функция (която не е специфична), докато във втория тип резултатът е число.
Две основни типа интеграли
Светът на интегралите е много широк, но в него можем да разграничим два основни типа интеграли, които имат голяма приложимост в ежедневието.
1 - Неопределени интеграли
Ако F '(x) = f (x) за всички x в областта на f, ще кажем, че F (x) е антидеривативна, примитивна или интегрална от f (x).
От друга страна, забележете, че (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), което означава, че интегралът на дадена функция не е уникален, тъй като даването на различни стойности на константата C ще доведе до различни вие antiderivatives.
Поради тази причина F (x) + C се нарича неопределен интеграл на f (x), а C се нарича интегрална константа и го пишем по следния начин:
Както можем да видим, неопределеният интеграл на функцията f (x) е семейство функции.
Например, ако искате да изчислите неопределения интеграл на функцията f (x) = 3x², първо трябва да намерите антидериватив от f (x).
Лесно е да се забележи, че F (x) = x³ е антидериватив, тъй като F '(x) = 3x². Следователно може да се заключи, че
(F (x) dx = x3x²dx = x³ + C.
2 - Дефинирани интеграли
Нека y = f (x) е действителна функция, непрекъсната в затворен интервал [a, b] и F (x) е антидеривативна на f (x). Тя се нарича определен интеграл от f (x) между границите a и b и числото F (b) -F (a) и се обозначава както следва
Посочената по-горе формула е по-известна като "Основна теорема за смятане". Тук "a" се нарича долна граница, а "b" - горната граница. Както можете да видите, определеният интеграл на функция е число.
В този случай, ако определеният интеграл на f (x) = 3x² се изчисли в интервала [0, 3], ще се получи число.
За да определим това число, избираме F (x) = x³ като антидеривативна на f (x) = 3x². Тогава изчисляваме F (3) -F (0), което ни дава резултат 27-0 = 27. В заключение, определеният интеграл на f (x) в интервала [0.3] е 27.
Може да се подчертае, че ако е избран G (x) = x³ + 3, тогава G (x) е антидеривативна на f (x), различна от F (x), но това не влияе на резултата, тъй като G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Поради тази причина в дефинираните интеграли константата на интеграция не се появява.
Едно от най-полезните приложения, които този тип интеграл има, е, че позволява да се изчисли площта (обема) на плоска фигура (на твърда революция), установявайки подходящи функции и граници на интегриране (и ос на въртене).
В рамките на дефинираните интеграли можем да намерим различни разширения на това, като например линейни интеграли, повърхностни интеграли, неправилни интеграли, множество интеграли, наред с други, всички с много полезни приложения в науката и инженерството.